jueves, 20 de agosto de 2015

Problema entrenamiento IGO

Problema 3. Ana y Beto han dibujado cada uno un polígono inscrito de $93$ lados. Denotemos por $A_{1}A_{2}...A_{93}$ el de Ana y por $B_{1}B_{2},...,B_{93}$ el de Beto.

Se conoce que $A_{i}A_{i+1}\left\Vert B_{i}B_{i+1}\right. $ para $1\leq i\leq 93(A_{93}=A_{1}$ y $B_{93}=B_{1})$. Muestre que $\frac{A_{i}A_{i+1}}{B_{i}B_{i+1}}$ es constante, e independiente de $i$.

4 comentarios:

Ariel dijo...

Creo que esto funciona para todos los casos, pero no estoy seguro.

Lo probamos para dos $2n + 1$-ágonos inscritos para cualquier $n$ por inducción. El caso base es con triángulos, y es claro pues la condición de las paralelas implica que los dos triángulos tienen los mismos ángulos.

Ahora digamos que $n \geq 2$ y sean $A = A_1A_2\dots A_{2n + 1}$, $B = B_1B_2\dots B_{2n + 1}$ los polígonos. Si $A_1A_2 \neq B_1B_2$, le aplicamos a $B$ una homotecia con razón $\frac{A_1A_2}{B_1B_2}$. Si el polígono resultante tiene distinta orientación que $A$, lo reflejamos respecto a algún punto, lo cuál nos da un polígono inscrito $C = C_1C_2\dotsC_{2n + 1}$ con la misma orientación que $A$ y lados paralelos a $A$. Ahora le aplicamos una traslación de manera que $C_1 = A_1$ y $C_2 = A_2$. Sean $\Omega_A$ y $Omega_C$ los circuncírculos de $A$ y $C$.

Sabemos que $A_1, A_{2n + 1}, C_{2n + 1}$ y $A_2, A_3, C_3$ son colineales. Además es fácil ver con ángulos en $\Omega_A$ y $\Omega_C$ que $A_{2n + 1}A_4 \parallel C_{2n + 1}C_4$, entonces usando la hipótesis inductiva para los polígonos $A_3A_4\dots A_{2n + 1}$ y $C_3C_4\dots C_{2n + 1}$,estos dos polígonos son semejantes. En particular esto implica que los arcos $A_{2n + 1}A_3$ de $\Omega_A$ y $C_{2n + 1}C_3$ de $\Omega_C$ son iguales, y entonces $\angle A_{2n + 1}A_1A_3 = \angle C_{2n + 1}A_1C_3$. Si $A_3 \neq C_3$ esto implica que $A_1, A_2, A_3$ son colineales. Imposible pues están todos en $\Omega_A$. Entonces $C_3 = A_3$ lo cuál implica fácilmente que $C = A$, y entonces $A_iA_{i + 1} = C_iC_{i + 1}$ para todo $i$.

Ahora deshacemos las transformaciones que hicimos inicialmente; La reflexión y la traslación mantienen $A_iA_{i + 1} = C_iC_{i + 1}$, mientras que la homotecia cambia $C_iC_{i + 1}$ por $r \cdot C_iC_{i + 1}$ para alguna constante $r$. Entonces $A$ y $B$ son semejantes en razón $r$, lo cuál concluye la demostración.

Ariel dijo...

Corrección: $A_{2n + 1}A_3 \parallel C_{2n + 1}C_3$

José Ramón Tuirán dijo...

Oye Lalo, no sabrás a qué hora sería el examen.

Jorge Pat De la Torre dijo...

y si no estoy en mi estado para cuando le manden el examen a mi delegada?

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