lunes, 31 de agosto de 2015

Problema del día 31 de Septiembre


Dados dos enteros positivos $m$ y $n$, demuestra que existe un entero $c$ tal que cada dígito distinto de cero aparece la misma cantidad de veces en $cm$ y en $cn$.

Posted by Unknown at 6:53 p.m.

1 comentario:

Ariel dijo...

Me salió con un hint.

Vamos a encontrar $c, l, N$ tales que $10^lcm \equiv cn \pmod{10^N - 1}$, y $cm, cn$ son menores que $10^N - 1$. Es fácil ver que multiplicar $cm$ por 10 y considerarlo módulo $10^N - 1$ conserva sus mismos dígitos, pero en un órden distinto, y ya que $cn$ es menor que $10^N - 1$, este tendrá los mismos dígitos que $10^lcm$ y por tanto que $cm$.

Ahora sea $10^lm - n = 2^a \cdot 5^b \cdot k$ con $(k, 10) = 1$. Para $l$ suficientemente grande tenemos $a \leq v_2(n)$ y $b \leq v_5(n)$, entonces $k$ puede ser arbitrariamente grande. Tomamos $k$ mayor que el máximo de $m$ y $n$ y tomamos $N = \phi(k)$. Entonces por Euler, $\frac{10^N - 1}{k}$ es entero, este será $c$. Se cumple que $10^N - 1 \mid 10^lcm - cn = ck \cdot 2^a \cdot 5^b = (10^N - 1)2^a \cdot 5^b$, y además tenemos $cm = \frac{m}{k}(10^N - 1) < 10^N - 1$, pues $m < k$. Análogamente, $cn < 10^N$.

3 de septiembre de 2015, 10:09 a.m.

Publicar un comentario

Suscribirse a: Comentarios de la entrada (Atom)