sábado, 22 de agosto de 2015

Examen IGO

Problema 1. Dos puntos $X$ y $Y$ están sobre el arco $BC$ del
circuncírculo del triángulo $ABC$ (sobre el arco que no contiene a $A$) y son tales que $\angle BAX=\angle CAY$. Sea $M$ el punto medio de la
cuerda $AX$. Muestre que $BM+CM>AY$.

Problema 2. Un cuadrílátero convexo $ABCD$ cumple con $\angle B=\angle D=60^\circ$. Sean $M$ el punto medio de $AD$ y $P$ el punto de intersección de $BC$ con la paralela a $CD$ por $M\,$. Un punto $X$ sobre $CD$ es tal que $BX=CX$. Muestre que $AB=BP$ sí y sólo si $\angle MXB=60^{\circ }$.

Problema 3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, La circunferencia de diámetro $BC$ corta a $AB$ y $CD$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la intersección de
$AM$ y $EF$. Sea $X$ un punto en el arco $EF$ y $Y$ el segundo punto de intersección de $XP$ con la circunferencia. Muestre que $\angle XAY=\angle XYM$.

\Problema 4. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$. La tangente por $A$ al circuncírculo de $ABC$ corta a $BC$ en $P$. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$ y $X$ un punto sobre $OP$ con $\angle AXP=90^\circ$. Dos puntos $E$ y $F$ sobre $AB$ y $CA$, respectivamente y sobre el mismo lado de $OP$ son tales que

$$\angle EXP=\angle ACX\text{ y }\angle FXO=\angle ABX.$$

si $K$ y $L$ son las intersecciones de $EF$ con el circuncírculo del triángulo $ABC$, muestre que $OP$ es tangente al circuncírculo del triángulo $KLX$.

Problema 5. Dos puntos $P$ y $Q$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC,$ tienen la misma distancia al punto medio de $BC$. Las perpendiculares a $BC$ por $P$ y $Q$ intersectan a $CA$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente.

Sea $M$ el punto de intersección de $PF$ y $EQ$. Si $H_{1}$ y $H_{2}$ son los ortocentros de los triángulos $BFP$ y $CEQ$, respectiamente. Muestre que $AM$ y $H_{1}H_{2}$ son perpendiculares.

4 comentarios:

José Ramón Tuirán dijo...

Oye Lalo no estará mal escrito el 2, no me queda el dibujo.

Antonio Lopez Guzman dijo...

lalo podrias pasar la solucion del 1?

Antonio Lopez Guzman dijo...

lalo podrias pasar la solucion del 1?

José Ramón Tuirán dijo...

Te doy un hint, traza en el circulo el punto G tal que CG=AY

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