lunes, 17 de agosto de 2015

Problema del día 17 de agosto.

Sean $b,n>1$ enteros. Supongamos que para cada entero $k>1$ existe un entero $a_k$ tal que $k| b-a_k^n$. Demuestra que $b=A^n$ para algún entero $A$.

11 comentarios:

Juan Carlos Castro dijo...

Supongamos que b no es una potencia de n, entonces existe p primo tal que p divide a b pero p^n no. Entonces tomamos k= p^n. p^n divide a (b - a_k^n), entonces p divide a (b - a_k^n) pero p divide a b entonces p divide a (a_k^n) por lo tanto p como es primo divide a (a_k) y p^n divide a (a_k^n). Entonces como p^n divide a (b - a_k^n), p^n divide a b. Contradicción.

Ariel dijo...

Para algún primo $p$ sea $v_p(b) = nm + r$ con $0 \leq r \leq n - 1$. Mostraremos que $r = 0$. Tomamos $k = p^{n(m+1)}$, entonces $p^{n(m+1)} \mid b - A_k^n$ y por lo tanto $p^{mn + r}$ también lo divide, pero además divide a $b$, entonces divide a $A_k^n$.

Si $r \geq 1$ entonces $v_p(A_k^n) \geq nm + 1$, pero ya que $v_p(A_k^n) = n\cdot v_p(A_k)$, $v_p(A_k^n)$ tiene que ser múltiplo de $n$. Entonces $v_p(A_k^n) \geq n(m+1)$ y $p^{n(m+1)} \mid A_k^n$, y ya que divide a $b - A_k^n$, debe dividir a $b$. Entonces $r \geq n$, contradicción.

Entonces $r = 0$, y aplicando esto a cada primo que divide a $b$ obtenemos que $b$ es una potencia $n$-ésima.

Ariel dijo...

Nota: $A_k = a_k$ en toda la solución

Jorge Garza Vargas dijo...

Bien los dos. Juan Carlos ten cuidado, no puedes garantizar que $p^n$ no divide a $b$, solo puedes garantizar que el exponente del primo no es múltiplo de $n$. Repitiendo el argumento que hiciste pero con $kn$ en vez todo funciona igual.

Juan Carlos Castro dijo...

Ok, ya lo corregí: Supongamos que b no es una potencia de n, entonces existe p primo tal que p divide a b pero p^kn no, para ningun k entero. Entonces tomamos k= p^mn, con m tal que mn>x>(m-1)n donde x es la máxima potencia de p que divide a b. p^mn divide a (b - a_k^n), entonces p^x divide a (b - a_k^n) pero p^x divide a b entonces p^x divide a (a_k^n) pero entonces p^m divide a (a_k) ya que de lo contrario la maxima potencia de p que divide a a_k^n seria menor o igual a (m-1)n<x, que no es posible. Por lo tanto p^mn divide a a_k^n . Entonces como p^mn divide a (b - a_k^n), p^mn divide a b. Contradicción.

Jorge Garza Vargas dijo...

Correcto

Antonio Lopez Guzman dijo...

escribiria mi solucion pero lo hice igual que juan jaja

Antonio Lopez Guzman dijo...

escribiria mi solucion pero lo hice igual que juan jaja

Jorge Garza Vargas dijo...

Bien, con que digas que es igual está bien.

Olga Medrano dijo...

Mi solución es igual a la de Ariel, demuestras que el residuo de dividir la maxima potencia de cada primo que divide a b entre n es 0. :P

José Ramón Tuirán dijo...

Misma solucion que Ariel, solo que por contradicción, supones que no es potencia de n, entonces b tiene, dentro de sus divisores primos, a un p cuya potencia es xn+y, con "y" distinto de 0, y menor que n, y acabas casi igual.

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