miércoles, 9 de junio de 2010

Problema 9 de junio

Sea x un real tal que las desigualdades 0 < (2002^1/2) - a/b < x/ab se verifica para infinitos pares (a,b) de naturales. Demostrar que x es mayor o igual que 5.

10 comentarios:

Fénir dijo...

Perdon por la horrible redaccion pero me parece que confunde los signos con html, el problema esta entre 4 y 2 de imo (dificil, facil)

IwakuraIsa dijo...

Ya lo corregí fer

Unknown dijo...
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Unknown dijo...

Bueno, pues según yo lo que debe cumplir x es

[b2002^(1/2)]{b2002^(1/2)}< x

para una infinidad de enteros positivos b donde []es parte entera, {}parte fraccionaria y la b multiplica a raíz de 2002. Espero completar la solución en un rato más.

Georges dijo...

Multiplicando la desigualdad por ab que son positivos y llamando c=(2002^1/2)b obtenemos que 0<a(c-a)<x.
Pero eso se cumple para infinitas parejas de a y c. Si hay finitas a que cumplan, entonces tomamos una c lo suficiente grande y entonces ya probamos que x es mayor que 5. Ahora si hay infinitas a entonces tambien va a haber infinitas a que tiendan a infinito, pero entonces si x fuera menor a 5 entonces c-a tiene que tender a 0 para infinitas a. Es claro que entonces para los casos en los que c-a tienda a 0 entonces a tiene que ser igual a parte-entera(c). Osea debe de haber infinitas c tales que c(c-partentera(c))<x.

Pero yo pienso que tal vez se puede probar que x no solo tiene que ser mayor a 5 sino mayor a cualquier otro real. Y que tal vez 2002^1/2, no importa mucho, lo unico que importa es que es irracional.

Fénir dijo...

Ok Georges, es ciero que hay una infinidad de parejas (a,c) que cumplen.
Si hay una infinidad de a´s y un numero finito de c´s me queda claro que ya acabaste, pues c-a es positivo, esta acotado y a va a infinito entonces el producto va a infinito pero creo que es el unico caso bien argumentado.
¿Como van los demas? ¿Quieren hint? Es un problema de numeros poco ortodoxo a peticion de Diego (que no ha comentado)

Unknown dijo...

Yo creo q si!

Unknown dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Unknown dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Unknown dijo...

pues yo llegue que existen infinitas parejas (a,b) que cumplan eso si y solo si existen infinitas b's tales que
[sqrt(2002)b]{sqrt(2002)b}<x
donde [x] es la parte entera de x y {x} la parte fraccionaria

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