martes, 25 de enero de 2011

Problema del día: Martes 25 de enero - GEO

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y sea $X$ un punto arbitrario en su plano. La cirunferencia de diámetro $XH$ intersecta a las rectas $AH$ y $AX$ en $A_1$ y $A_2$, respectivamente. De manera similar se definen los puntos $B_1$, $B_2$, $C_1$ y $C_2$. Prueba que las rectas $A_1A_2$, $B_1B_2$ y $C_1C_2$ con concurrentes.

Saludos desde Polonia. A ver si nos vemos en el siguiente entrenamiento. Suerte a todos.

3 comentarios:

jose nain dijo...

...

hvillan dijo...

Qué pasó?

DANIELIMO dijo...

vemos que el angXA1H=90 y por lo tanto A1X es paralela a BC, vemos que angXBC=angB2XA1=angA1B1B2 por paralelas y angulos en la circunferencia, analogamente podemos ver que angXBA=angB2B1C1, angXAB=angC1A1A2, angXAC=angA2A1B1, angXCA=angB1C1C2, angXCB=angC2C1A1.
Notamos que (senXBCsenXABsenXCA)/(senXBAsenXACsenXCB)=1 por ceva trigonometrico enel triangulo ABC y cevianas por X, sinembargo eso implica que (senA1B1B2senC1A1A2senB1C1C2)/(senB2B1C1senA2A1B1senC2C1A1)=1 que implica que las rectas A1A2,B1B2 y C1C2 concurren

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