martes, 3 de mayo de 2011

Problema del día Martes 3 de mayo, 2011

Un problema fácil y no horrible (a diferencia de los de Hugo) para hoy.

Un pentágono convexo inscrito en un círculo de radio 1 tiene dos diagonales perpendiculares que se intersecan en el interior del pentágono. ¿Cuál es la máxima área que puede tener el pentágono?

No se supone que se ponen problemas de todas las áreas? Va casi un mes con pura geometría...

3 comentarios:

David (sirio11) dijo...

Si, ya que pasen los selectivos esta semana, arreglamos eso y volvemos a poner problemas de todas las areas

Georges dijo...

Me gustan mas los problemas de Hugo jajaja.

Sea ABCDE el pentágono convexo, y spg sea AC perpendicular a BD. Ahora E debe ser el punto medio del arco AD porque este maximiza el are del triángulo AED sin afectar a ABCD.

Sea O el centro del circulo, x=angAOB y=angAOE y P el punto de intersección de AC y BD.
Entonces ACB=x/2 por lo que DBC=90-x/2 y entonces DOC=180-x.
También como E es punto medio del arco AD EOD=y por lo que BOC=180-2y.

Por lo tanto (ABCDE)=(AOB)+(BOC)+(COD)+(DOE)+(EOA)=1/2[sin x +sin 2y+sinx+sin y + sin y]= sinx+sinycosy+siny lo cual se maximiza si x=90 y si y=60 (fácil de ver con calculo)
Por lo tanto el máximo es 1+(3raiz3)/2

DANIELIMO dijo...

A mi me da que la maxima area del pentagono es [3+sqrt(2)]/2

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