miércoles, 11 de mayo de 2011
Problema del día Miércoles 12 de Mayo (Diego)
Sea $ABC$ un triangulo. Los triangulos $PAB$ y $QAC$ estan afuera de $ABC$, construidos de tal manera que $AP=AB$ y $AQ=AC$ y $\angle BAP=\angle CAQ$. Los segmentos $BQ$ y $CP$ se intersectan en $R$. Sea $O$ el circuncentro de $BCR$. Demuestra que $AO$ y $PQ$ son perpendiculares.
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2 comentarios:
Primero vemos que $AP=AB$, $AQ=AC$ y $\angle PAC =\angle PAB+ \angle BAC = \angle BAC + \angle CAQ = \angle BAQ$. Luego por criterio $LAL$, $PAC$ es congruente a $BAQ$. Luego $\angle AQR= \angle ACR$ entonces $AQCR$ es ciclico. Luego sea $\angle BAP = \angle CAQ = \alpha$. Entonces $\angle QRC = \alpha$. Luego $B$, $R$, y $Q$ son colineales, entonces $\angle BRC = 180-\alpha$. Luego $\angle BOC = 2\alpha$. Ahora sea $T$ la transformacion lineal que rota un vector $\alpha$ grados y deja su magnitud igual. Entonces tomemos $O$ como origen. Luego $T(T(C)) = B$, $T(C-A)=Q-A \rightarrow T(Q) = T(T(C-A)) + T(A) = T(T(C)) - T(T(A))+T(A)=B + T(A) - T(T(A))$ y $T(P-A)=B-A \rightarrow T(P)=B-A+T(A)$. Lo ultimo que hay que ver es que como $T$ preserva la magnitud de los vectores, entonces $M \cdot N = T(M) \cdot T(N)$. Lo que queremos es equivalente a probar que $A \cdot (P-Q)= 0$ que es equivalente a $T(A) \cdot T(P-Q)= 0$. Pero $T(P)-T(Q)$
$=(B-A+T(A))-(B+T(A)-T(T(A)))$$= T(T(A))-A$. Entonces lo que queremos es equivalente a que $T(A)\cdot (T(T(A))-A) = 0$, que es equivalente a $T(A) \cdot A = T(T(A))\cdot T(A)$, pero vimos que el producto punto de dos vectores era igual al de sus transformados, entonces la ultima igualdad es cierta. Entonces se cumple y todo se cumple.
Por LAL, PAC y BAQ son congruentes.
Entonces PC=BQ, angAPR=angABR, angAQR=angACR.
Entonces APBR y AQCR son cíclicos. Y por los ciclicos y angulos en isosceles nos queda
(angulos) ARP=APB=90-PAB/2=90-CAQ/2=ACQ=ARQ.
Sean X,Y y Z las circunferencias con centro A,A y O y radio AP,AQ y OR respectivamente.
Sea P1 el punto en el rayo RQ tal que RP1=RP.
Sea Q1 el segundo punto de intersección de QB con Y.
Por LAL,ARP y ARP1 son congruentes entonces P1 esta en X.
Por simetria BQ1=QP1.
Por potencia desde B a X, (AQ-AB)(AQ+AB)=BQ*BQ1
Que implica que AQ^2-AP^2=BQ*QP1=BQ*(RQ-RP)
Por potencia desde P a Z, (PO+OR)(PO-OR)=PC*PR
entonces PO^2-OR^2=PC*PR=QB*PR
Por potencia desde Q a Z,(QO+OR)(QO-OR)=QB*QR
entonces QO^2-OR^2=QB*QR
Restamos las dos ultimas ecuaciones y nos da
QO^2-PO^2=QB(QR-PR) Que es igual a
QO^2-PO^2=AQ^2-AP^2 Lo que nos dice que AO y PQ son perpendiculares
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