Examen IGO

Problema 1. Dos puntos $X$ y $Y$ están sobre el arco $BC$ del
circuncírculo del triángulo $ABC$ (sobre el arco que no contiene a $A$) y son tales que $\angle BAX=\angle CAY$. Sea $M$ el punto medio de la
cuerda $AX$. Muestre que $BM+CM>AY$.

Problema 2. Un cuadrílátero convexo $ABCD$ cumple con $\angle B=\angle D=60^\circ$. Sean $M$ el punto medio de $AD$ y $P$ el punto de intersección de $BC$ con la paralela a $CD$ por $M\,$. Un punto $X$ sobre $CD$ es tal que $BX=CX$. Muestre que $AB=BP$ sí y sólo si $\angle MXB=60^{\circ }$.

Problema 3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, La circunferencia de diámetro $BC$ corta a $AB$ y $CD$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la intersección de
$AM$ y $EF$. Sea $X$ un punto en el arco $EF$ y $Y$ el segundo punto de intersección de $XP$ con la circunferencia. Muestre que $\angle XAY=\angle XYM$.

\Problema 4. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$. La tangente por $A$ al circuncírculo de $ABC$ corta a $BC$ en $P$. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$ y $X$ un punto sobre $OP$ con $\angle AXP=90^\circ$. Dos puntos $E$ y $F$ sobre $AB$ y $CA$, respectivamente y sobre el mismo lado de $OP$ son tales que

$$\angle EXP=\angle ACX\text{ y }\angle FXO=\angle ABX.$$

si $K$ y $L$ son las intersecciones de $EF$ con el circuncírculo del triángulo $ABC$, muestre que $OP$ es tangente al circuncírculo del triángulo $KLX$.

Problema 5. Dos puntos $P$ y $Q$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC,$ tienen la misma distancia al punto medio de $BC$. Las perpendiculares a $BC$ por $P$ y $Q$ intersectan a $CA$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente.

Sea $M$ el punto de intersección de $PF$ y $EQ$. Si $H_{1}$ y $H_{2}$ son los ortocentros de los triángulos $BFP$ y $CEQ$, respectiamente. Muestre que $AM$ y $H_{1}H_{2}$ son perpendiculares.