Un cuadrilátero convexo ABCD está inscrito en una circunferencia con centro en O. Sea E el punto de intersección de las diagonales AC y BD. Si P es un punto en el interior de ABCD tal que
demuestra que O, P y E son colineales.
ang(PAB) + ang(PCB) = ang(PBC) + ang(PDC) = 90º
demuestra que O, P y E son colineales.
3 comentarios:
solución:
sea T la circunferencia circunscrita al ABCD sean X,Y,Z,W los puntos de interseción de T con AP,BP,CP,DP respectivamente. Sea Q el punto de intersección de WA con BZ. Es facil ver por angulos que XZ y YW son diametros de T. vemos por Pascal en WDBZCA y BYWAXZ que P,E,Q y P,O,Q son respectivamente colineales, lo que implica que O,P,E son colineales.
Orale! Está chida tu solución.
Solución:
Sean T, T1, T2 las circunferencias que pasan por ABCD, APC y BPD con centros O, O1 y O2 resp.
Como AC y BD son ejes radicales(de T,T1 y T,T2 resp) y se intersectan en E entonces E es el centro radical de T,T1,T2.
Por lo tanto la recta PE es el otro eje radical y por lo tanto es perpendicular a O1,O2 (este hecho es conocido)
Es facil ver usando la hipotesis y persiguiendo unos pocos ángulos que Ang(AO1C)+Ang(AOC)=180 (realmente es facil, lo dejo como ejercicio al lector)
Por lo tanto AO1CO es cíclico y entonces Ang(O1AO)+Ang(O1CO)=180. Pero por criterio LLL los triángulos O1CO y O1AO son congruentes. Por lo tanto Ang(O1AO)=Ang(O1CO)=90 y entonces O1C y O1A son tangentes T y por lo tanto AC es la polar de O1 con respecto a T.
Analogamente BD es la polar de O2 con respecto a T.
Pero como la polar de O1 y O2 pasan por E entonces la polar de E es O1O2. Por lo tanto OE es perpendicular a O1O2, pero tambien habiamos probado que PE es perpendicular a O1O2 por lo tanto O,P,E son colineales.
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