domingo, 2 de junio de 2013

Mock 3, Problema 2

Vi sus soluciones del problema 2 del Mock 3. Me parece que son buenas formas de atacar (usar derivadas, o una desigualdad intermedia). Como comentan en el FB, el problema sí se puede prestar a talacha. Esta entrada es para contarles otra solución. Es "de idea" y con un poco de suerte puede ayudar a ahorrarse talacha (y por lo tanto, tiempo). Está basada en la siguiente heurística:

"Si hay una función f(x) importante en el problema y tenemos condición sobre la suma de las variables, puede ser buena idea intentar acotar f(x) por una función lineal (de la forma ax+b)".

Con esto en mente, en el problema tenemos $f(x)=\frac{1}{x^2-4x+9}$. Nos gustaría encontrar $a$ y $b$ de modo que $f(x)\leq ax+b$. Después de jugar un rato, tenemos un valor muy alto en $1,0,0$. Así que si esperamos que la heurística funcione, quisieramos la igualdad en $x=0$ y $x=1$. De esta forma, obtenemos $b=f(0)=\frac{1}{9}$, y $a+b=f(1)=\frac{1}{6}$. De aquí, $a=\frac{1}{18}$. Por lo tanto, tenemos la siguiente conjetura (al estilo del "Pensamiento deseoso", que les conté en el documento que les mandé):

Conjetura: $\frac{1}{x^2-4x+9}\leq \frac{x+2}{18}$ para valores $x\in[0,1]$.

Bueno, verifiquen que se cumple esta conjetura y con eso terminen el problema.

En realidad no tengo tantos trucos de estos bajo la manga, pero también estaría padre que le echaran un ojo a este problema: http://blog.nekomath.com/como-dar-una-factorizacion-magica/ , en donde platico un poquito de cómo se me ocurrió una idea para resolver un problema.

7 comentarios:

Juan dijo...

Wow! jaja, muy ingenioso.

Juan dijo...

La conjetura se demuestra expandiendo, se reduce a $x(x-1)^2 \ge 0$

Diego Alonso Roque Montoya dijo...

Uhm, el truco es algo así como el truco de la tangente, creo que sale en cauchy schwarts master class.

Leo dijo...

Sí, también me recuerda un poco a lo de la tangente. Pero dudo un poco, por que aquí la recta queda secante y más bien pasa por dos puntos "importantes" de la curva.

Pero en fin, vaya, sí está relacionado. La filosofía en ambos casos es comparar con una recta.

Juan dijo...

ah ya entendí a lo que se refieren...

Leo dijo...

De hecho Diego, tu solución del problema 2 de la IMO pasada según recuerdo utiliza el truco de la tangente. Estaría padre que cuando tengas tiempo nos la escribas en una entrada.

Juan dijo...

jajajaja

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