lunes, 3 de junio de 2013

Problemas 3 junio 2013. JUAN. Geo-Combi.

Problema 1 (Geometría). Triángulo ABC. Incentro $\omega$ (con centro I) toca a BC en D. Altura AH, con H sobre BC.  Punto medio de AH es M. Perpendicular a DM por I intersecta a BC en K. Sea $\Omega$ el circuncírculo de ABC. Las tangentes desde K a $\omega$ lo tocan en $X_1, X_2$ y las tangentes desde K a $\Omega$ lo tocan en $Y_1, Y_2$. Muestra que $X_1X_2Y_1Y_2$ es cíclico.

Problema 2 (Combinatoria). Considero un cuadrado de $2^n*2^n$, y me tomo la diagonal que va del suroeste al noreste. Al conjunto de los cuadros abajo de esta diagonal le llamo $X_n$. Por ejemplo, $X_1$ es un cuadro, $X_2$ es una L con 3 cuadros, etcétera, ¿no?

A $X_n$ lo particiono (cubro) con rectángulos con una configuración $C$, tal que cada cuadrito quede cubierto exactamente una vez, y ningún punto afuera de $X_n$ quede cubierto. A la suma de los perímetros de éstos rectángulos le llamo $S_C$. Al mínimo valor posible de $S_C$ le llamo $\Omega_n$, ¿no?

Muestra que $2n | \Omega_n$ para todo $n$ natural.

Problema 3 (para Adán que ya vio todos) (Números). $k \ge 2$ natural fijo, $a_1=1$, y para $n \ge 2$, $a_n$ es la solución más pequeña (pero mayor a $a_{n-1}$) de la ecuación:

$x=1+\sum_{i=1}^{n-1}\lfloor (\frac{x}{a_i})^{1/k} \rfloor$.

Muestra que todo primo ocurre en la secuencia $a$.

2 comentarios:

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

El primero estoy casi seguro que es del nacional de España del año pasado, problema 6, y sale usando como lemma el G7 del 2002. En un rato lo comento.

Juan dijo...

Seguro sale más fácil. Mi solución está bastante fácil, no creo que se necesite usar un G7. OK

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