miércoles, 5 de junio de 2013

Problema del día (05-06-2013) (Chiu)

Esta vez pondré un truquillo que sirve para iteración de funciones, y algunos ejercicios.

El truco es el siguiente:

Si $f(x)=\phi ^{-1}(g(\phi (x)))$, con $\phi^{-1}$ y $\phi$ funciones inversas, entonces

$f^{(n)}(x)=\phi ^{-1}(g^{(n)}(\phi (x)))$,

donde $f^{(n)}$ es $f$ iterado $n$ veces (i.e. $f^{(n)}(x)=f(f(f(.....f(x)...)))$ $n$ veces).

Usando lo anterior, encontrar una expresión cerrada para $f^{(n)}(x)$ para:
$f(x)=\frac{x^{2}}{2x-1}$
$f(x)=\frac{x}{\sqrt[k]{1+ax^{k}}}$, $k$ entero positivo.
$f(x)=2x^{2}-1, -1\leq x\leq 1$

El chiste es encontrar una $g$ fácil de iterar tal que existe $\phi$ con $f(x)=\phi ^{-1}(g(\phi (x)))$.

Otro ejercicio:

Encuentra una función $p$ tal que $p^{(8)}(x)=x^{2}+2x$.

3 comentarios:

Adán Medrano Martín del Campo dijo...

Quisiste decir

$f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\phi^{-1}\left(g^{\left(n\right)}\left(\phi\left(x\right)\right)\right)$

o

$f^{\left(x\right)}\left(x\right)=\phi^{-1}\left(g^{\left(n\right)}\left(\phi\left(x\right)\right)\right)$

?

Enrique dijo...

oh gracias, ahorita lo corrijo (es $f^{(n)}(x)$)

Juan dijo...

¡Qué imprudente, Enrique!

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