Mock 4

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC>CA$. Sea $O$ el circuncentro, $H$ el ortocentro, $F$ el pie de la altura $CH$. La perpendicular a $OF$ en $F$ corta a $CA$ en $P$. Muestra que $\angle FHP = \angle BAC$.

2. Sea $N=\{1,2\ldots,n\}$, $n\geq 2$. Una colección $F=\{A_1,\ldots,A_t\}$ de subconjuntos de $N$ se le llama separadora si para cada par $\{x,y\}\subseteq N$ hay un conjunto $A_i\in F$ tal que $A_i\cap\{x,y\}$ contiene sólo un elemento. Una colección $F$ se le llama cubriente si cada elemento de $N$ está contenido en al menos un conjunto $A_i\in F$. ¿Cuál es el menor valor $f(n)$ de $t$ tal que existe una colección $F=\{A_1,\ldots,A_t\}$ que es tanto separadora como cubriente?

3. Encuentra todas las parejas de números naturales $a,b$ tales que para cualquier entero $n$, el número $an+b$ es triangular si y sólo si $n$ es triangular. Nota: Un entero $r$ es triangular si es de la forma $r=\frac{s(s-1)}{2}$ con $s\geq 1$ un entero.