martes, 31 de enero de 2012

Problema del Día: Tomar números cuadrados

En una mesa hay piedras. Dos jugadores toman piedras alternadamente. En cada turno pueden tomar $x^2$ piedras, donde $x$ es un entero positivo. El jugador que no pueda tomar piedras, pierde. Muestra que hay una infinidad de posiciones iniciales para las cuales el segundo jugador tiene una estrategia ganadora.
Posted by Leo at 10:30 a.m. 18 comments

sábado, 21 de enero de 2012

Problema del día: Viernes 20 de Enero

Por una confusión el problema de ayer se los pongo hoy:
Suponga que $(xy+1)(yz+1)(zx+1)$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que $xy+1$,$yz+1$ y $zx+1$ son todos cuadrados perfectos.
Posted by Flavio at 12:59 p.m. 1 comments

jueves, 19 de enero de 2012

Problema del Día: Jueves 19 de Enero de 2012

Encuentre todos los números reales $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{2012} \geq 0$ que satisfagan el sistema de ecuaciones $x^2_{i+1} + x_{i+1}x_i + x_i^4 = 1$ para $i=0, 1, \ldots, 2012$, donde $x_{2013} = x_0$.
Posted by Eduardo at 1:09 a.m. 8 comments

miércoles, 18 de enero de 2012

confirmaciones

Hola a Todos

No han confirmado que asistiran al entrenamiento ni Alberto de Chihuahua ni
Adan de Jalisco. Lo que usualmente hacemos es bajarles puntos a los ultimos que confirman.
Posted by rvaldez at 8:48 p.m. 1 comments

Problema del día: Geometría

¡Perdón, se me pasó poner ayer el problema! Pero bueno, aquí está:

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$. El excírculo $\omega _a$ toca a $AB, AC$ y $BC$ en $K, M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que si el punto medio de $KM$ está sobre el circuncírculo de $ABC$, entonces $O, N$ e $I$ son colineales.
Posted by Unknown at 1:01 a.m. 22 comments
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martes, 17 de enero de 2012

Problema del Día: Cantidad de casillas a las que puede llegar un caballo

Supongamos que un caballo de ajedrez se encuentra en una casilla de un tablero infinito de ajedrez. Encuentra la cantidad de casillas a las que puede llegar con exactamente $n$ movimientos.
Posted by Leo at 11:00 a.m. 12 comments

lunes, 16 de enero de 2012

Examen #2: Competencia de Invierno

Tiempo: 30 minutos    Recuerden el codigo de honor !!!!!




1- El cuadrado


\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline 50 & \textit{b} & \textit{c} \\\hline \textit{d} & \textit{e} & \textit{f} \\...

es un cuadrado multiplicativo mágico. Esto es, el producto de los numeros en cada renglon, columna y diagonal es el mismo. Si todas las entradas son enteros positivos, cual es la suma de los posibles valores de g?


2- Una sucesión  a_1,a_2,\dots  de enteros no negativos esta definida como a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n| para n\geq 1. Si a_1=999, a_2<999 y a_{2006}=1, Cuantos valores diferentes para a_2 son posibles?


3- Sean 4^{x_1}=5, 5^{x_2}=6, 6^{x_3}=7, ... , 127^{x_{124}}=128. Encontrar el valor de x_1x_2...x_{124}?

4- Ocho esferas de radio 1, una por octante, son tangentes a los planos coordenados. Cual es el radio de la esfera mas pequeña, con centro en el origen, que contiene a estas 8 esferas?

5- Sean a,b,c,d,e,f,g, h distintos elementos en el conjunto
\{-7,-5,-3,-2,2,4,6,13\}.
Cual es el mínimo valor posible de
(a+b+c+d)^{2}+(e+f+g+h)^{2}?

6- Un entero positivo n tiene 60 divisores y 7n tiene 80 divisores. Cual es el entero mas grande k tal que 7^k divides n?

7- Todos los estudiantes en una clase tomaron un examen de 100 puntos. Cinco estudiantes obtuvieron 100, cualquier estudiante obtuvo al menos 60, y la media fue 76. Cual es el numero mas pequeño posible de estudiantes en la clase?

8- En la sucesión 2001, 2002, 2003, \ldots , cada termino después del tercero se encuentra restando el termino anterior de la suma de los 2 anteriores a ese. Por ejemplo, el 4o. termino es 2001 + 2002 - 2003 = 2000. Cual es el 2004^\textrm{th} termino de la sucesión ?

9- En el \triangle ABC, AB=13, AC=5, y BC=12. Los puntos M y N están en AC y BC, respectivamente, con CM=CN=4. J y K están en AB de manera que MJ y NK son  perpendiculares a AB. Cual es el área del pentágono CMJNK?


unitsize(0.5cm);defaultpen(0.8);pair C=(0,0), A=(0,5), B=(12,0), M=(0,4), N=(4,0);pair J=intersectionpoint(A--B, M--(M+rotate...



10- El primer termino de una sucesión es 2005. Cada termino subsecuente es la suma de los cubos de los digitos del termino anterior. Cual es el termino 2005^{\text{th}} de la sucesión?

11- El triangulo isósceles \triangle ABC tiene un angulo recto en C. El punto P esta dentro de \triangle ABC, tal que PA=11, PB=7, y PC=6. Lados \overline{AC} y \overline{BC} tienen longitud s=\sqrt{a+b\sqrt{2}{, donde  a y b son enteros positivos. Encontrar a+b?
pathpen = linewidth(0.7); pointpen = black;pen f = fontsize(10);size(5cm);pair B = (0,sqrt(85+42*sqrt(2)));pair A = (B.y,0);p...
12- Dado que 2^{2004} es un numero de 604 dígitos cuyo primer dígito es 1, Cuantos elementos de el conjunto S = \{2^0,2^1,2^2,\ldots ,2^{2003}\} tienen 4 como primer dígito?


Posted by David (sirio11) at 9:30 p.m. 57 comments
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