Problema del dia 21 de mayo (Jorge)

Sean $\omega _1,\omega _2$ dos circunferencias. Sea $S$ el conjunto de tríangulos $ABC$, tal que $\omega _1$ es su circuncírculo y $\omega _2$ su excírculo, $\omega _2$ es tangente a $BC, AC, BC$ en $D,E,F$ respectivamente.
Para todo $ABC$ en $S$, demuestra que el gravicentro del $DEF$ es un punto fijo.

Problema del día sábado 11 de junio (Jorge)

Sea $a_0, a_1, a_2...$ una secuencia infinita de reales positivos. Demuestra que la desigualdad $1+a_n>a_{n-1}\sqrt[n]{2}$ es cierta para una infinidad de naturales $n$.

Problema del día sábado 21 de mayo (Jorge)

a) Sea $n>1$ un número entero, y sea $p$ un primo que divide a $2^{2^n}+1$.

Demostrar que $p-1$ es múltiplo de $2^{n+2}$.

b) Demostrar que existen infinitas parejas de primos $(p,q)$ tal que $p$ divide a $2^{q-1}-1$ y $q$ divide a $2^{p-1}-1$.

Problema del día sábado 14 de mayo (Jorge)

Sea $n$ un entero positivo, y sea $N=n^2+1$. Se tienen $N$ colores, cada cuadrito unitario de una cuadrícula de $N$x$N$ se colorea usando uno de los $N$ colores, de tal manera que cada color fue utilizado exactamente $N$ veces.

Demostrar que existe una columna o una fila en donde hay al menos $n+1$ colores distintos.

Problema del dia: jueves 24 de febrero - ALGEBRA

Sean $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{2^{k+1}}$ numeros reales positivos tales que para
cada $i$, $i < a_i \leq i+1$. Considera para cada $i$, la caja de base cuadrada de
$1 \times 1$ y de altura $\frac{1}{a_i}$.

Muestra que con estas $2^{k+1}$ cajas es
posible llenar al menos $k+1$ cajas rectangulares de base $1 \times 1$ y altura
$\frac{1}{2}$.

Muestra que con las $2^{k+1}$ cajas no es posible llenar $k+1$ cubos de lado $1$.