miércoles, 10 de julio de 2013

Problema del día (10-07-2013)

Un snack antes de irnos:

Prueba que todas las raíces del polinomio $x(x-2)(x-4)(x-6)+(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$ son reales.

lunes, 8 de julio de 2013

Números y Álgebra. $3^2$ julio 2013. JUAN

Fácil: Sea $a$ un natural dado. En un pizarrón está escrito inicialmente un número $m$. Pepito aplica la siguiente operación:

Supongamos que en el pizarrón está escrito actualmente el número $n$. Tira una moneda. Si sale sol, borra $n$ y escribe $2n$. Si sale sello, borra $n$ y escribe $2n-1$.

¿Para qué parejas $\boxed{(a,m)}$ de naturales es posible que, con mucha suerte, Pepito algún día escriba una $a$-ésima potencia?

Medio: $n,k \textgreater 1$ son naturales. $a_1,...,a_n,c_1,...,c_n$ son reales no negativos tales que:

(i) $a_1 \ge ... \ge a_n$
(ii) $a_1+...+a_n=1$
(iii) $\forall m \in \{1,...,n\}$ se da que $c_1+...+c_m\le m^k$

Encuentra el máximo valor posible de $\boxed{c_1a_1^k+...+c_na_n^k}$

Problema del Día (Adán)

Sea $s>1$ un entero. Muestra que existen infinitos $n\in \mathbb{N}$ tales que

\[n\mid 1^{n}+2^{n}+\cdots+s^{n}.\]


Sea $n$ un entero positivo. Un conjunto $S$ de $n$ puntos en el plano, tales que no contiene tres puntos alineados, es tal que para cada punto $P$ en $S$, al menos otros $k$ puntos en $S$ tienen la misma distancia a $P$. Muestra que

\[k<\frac{1}{2}+\sqrt{2n}.\]

domingo, 7 de julio de 2013

Soluciones Mock 7 (Chiu)






Problema del Día 07-07-2013 (Xavi)

Encuentra el valor de la suma:

$\sum_{i=0}^\infty{\frac{F_i}{2^i}}$

En donde $F_i$ representa el i-ésimo termino de la sucesión de Fibonacci.
(Nota: $F_0=F_1=1$)

sábado, 6 de julio de 2013

Mock # 7

Tiempo: 4 horas


miércoles, 3 de julio de 2013

Problema del día (03-07-2013)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BA\neq BC$. Sean $k_1$ y $k_2$ los incírculos de $ABC$ y $ADC$, respectivamente. Supongamos que existe una circunferencia $k$ tangente al rayo $BA$ en un punto más allá de $A$ y al rayo $BC$ en un punto más allá de $C$ y que también es tangente a las rectas $AD$ y $CD$. Demuestra que las tangentes externas comunes a $k_1$ y $k_2$ se intersecan en $k$.

lunes, 1 de julio de 2013

Problema $2$ de julio del $2013$

¿Existirán infinitos naturales $n$ tales que $\pi(n) | n$?

Problema del Día (Adán)

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2n}$ enteros distintos tales que la ecuación

\[\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\cdots \left(x-a_{2n}\right)-\left(-1\right)^{n}\left(n!\right)^{2}=0\]
tiene una solución entera $s$. Muestra que

\[2n\mid a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2n}.\]