Conjugados isogonales.

Pongo esto en una nueva entrada porque tal vez ya no vean los comments del problema que puso Hugo. Pues la segunda parte del problema, la que no nos había salido a nadie no era tan complicada usando conjugados isogonales. La verdad yo había escuchado el nombre y tenía alguna idea de lo que eran, pero no sabía bien que ni cómo se podían aplicar para resolver problemas. Es algo que se puede mostrar fácil usando Ceva trigonométrico, pero creo que es conveniente que todos lo sepamos (creo que algunos ya lo conocían) para aplicarlo directo, sin que se te tenga que ocurrir en lugar de eso usar Ceva trigonométrico. Es como si no supieramos potencia y siempre usáramos semejanza, que a veces es más difícil que se ocurra.

Entonces dejo acá dos links para que lo lean los que no saben de esto.

Conjugados Isogonales

Isogonal Conjugate

Pista para el Problema del Dia 23 de mayo

Irving y Diego han solucionado el inciso a, pero nadie ha hecho el inciso b), así que les daré una pista para una de las soluciones, una solución que creo les ayudará en cuestión de una buena técnica para la IMO (y la ibero).

Supongamos que tenemos un triángulo equilátero. Sin pérdida de generalidad un vértice está en el círculo con centro en el origen. Ahora, digamos que otro vértice está en el círculo con centro en(a,b) donde a y b son enteros no negativos (sin pérdida de generalidad de nuevo).
Ahora, supongamos que los vértices son exactamente esos puntos con coordenadas enteras. Calculen donde caería el tercer vértice (hay dos opciones, escojan su favorita de las dos). Ahora demuestren que si los vértices no están en puntos con coordenadas enteras, el tercer vértice quedara muy cerca de ese punto.
Con esta información, pueden saber que tan cerca tiene que estar ese punto de un punto con coordenadas enteras. Ahora pueden usar fracciones continuas y ponerle una cota al asunto.