Desigualdad del día (Jorge 'Chuck')

Sea $n\geq 2$ y sean $a_1, a_2,\dots, a_n$ reales. Demuestra que para cada subconjunto no vacío $S$ de los enteros del uno al $n$ se da que: \[\left(\sum_{i\in S}a_i\right)^2\leq \sum_{1\leq i\leq j\leq n}(a_i+\dots+a_j)^2\]

Sucesiones Aritméticas y Geométricas

Prueba que para cada entero positivo $n\geq 3$ existen sucesiones $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ de enteros positivos de manera que la primera es sucesión aritmética y la segunda es geométrica tales que $b_1\textless a_1\textless b_2\textless\dots\textless b_n\textless a_n$ y da un ejemplo de ambas para $n=5$.

Problema del día viernes 25 de mayo. (Juan)

Sea ABC un tríangulo cuyo menor lado es BC. U está en el arco menor BC del circuncírculo de ABC. Las mediatrices de AB y AC intersectan a AU en X y Y, respectivamente. BX y CY se intersectan en T. Muestra que AU mide lo mismo que la suma de las longitudes de los segmentos BT y CT.

Area blanca y negra, problema del día 23 de Mayo

Hay un tablero de ajedrez infinito, para cada pareja de enteros $m,n$ consideramos un triángulo rectánculo con vértices compartidos con la cuadrícula y con sus catetos paralelos a los ejes del tablero. Sean $S_{b}$ y $S_{n}$ el área total de blanco y de negro dentro del triángulo respectivamente. Sea $f(m,n)=|S_{b}-S_{n}|$.
a) Encuentra todos los posibles valores de $f(m,n)$ para $2|m-n$.
b) Prueba que $f(m,n)\leq \frac{max\{m,n\}}{2}$.
c) Prueba que $f(m,n)$ no está acotada por arriba.

Problema Del Día, Viernes 18 de mayo del 2012 (Juan)

Va poquito temprano.
Determina todas las funciones f de reales a reales tales que para todos x,y reales,
$f\left(x-f(y)\right)=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$.

Problema del Día, Miércoles 16 de Mayo (Chuck)

Sean $r_{1},r_{2},\dots,r_{n}$ reales positivos mayores o iguales a $1$. Prueba que: \[\frac{1}{r_{1}+1}+\frac{1}{r_{2}+1}+\dots+\frac{1}{r_{n}+1}\geq \frac{n}{\sqrt[n]{r_{1}r_{2}\dots r_{n}}+1}.\]

Problema del día

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia con centro $O$ y sin lados paralelos. Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de lados opuestos se cortan en $O$ si y sólo si
$OA\cdot OC=OB\cdot OD$.

Problema del Día Jueves 23 (Álgebra)

Encuentra todos los polinomios $P(x,y)$ con coeficientes reales tales que para todos $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$ se tiene que
$$P(ab,c^2+1)+P(bc,a^2+1)+P(ca,b^2+1)=0.$$

Problema del día.

Demuestra que en cualquier triángulo, las rectas que unen el punto medio de cada lado con el punto medio de su altura correspondiente, se intersectan en el punto simediano del triángulo.

Problema del día.

Sea $A_1A_3...A_{2n+1}A_2A_4...A_{2n}$ un $2n+1$-ágono convexo. Demuestra que de todas las líneas quebradas cerradas (osea todos los $2n+1-$-ágonos posibles, incluyendo los que tienen lados que se intersectan) cuyos vértices son los mismos que los del polígono inicial, la $A_1A_2...A_{2n+1}A_1$ tiene la mayor longitud.

Problema del día: Geometría

¡Perdón, se me pasó poner ayer el problema! Pero bueno, aquí está:

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$. El excírculo $\omega _a$ toca a $AB, AC$ y $BC$ en $K, M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que si el punto medio de $KM$ está sobre el circuncírculo de $ABC$, entonces $O, N$ e $I$ son colineales.

Problema del Dia: Viernes 13 de enero Algebra

Determina si existen dos funciones
$f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todos
$x \neq y$ la siguiente desigualdad se tiene:

$$ \mid f(x)- f(y) \mid + \mid g(x) - g(y) \mid > 1.$$