Problema del día: Jueves 31 de marzo del 2011, Algebra

Sean $x$ y $y$ numeros reales con $y \geq 0$. Muestra que si
$y(y + 1) \leq (x + 1)^2$, entonces $y(y-1) \leq x^2$.

Problema del dia 16 de Septiembre

Como es el ultimo dia para poner problemas en el blog, antes de que se vayan a Paraguay, les dejo dos problemas:

1. Encontrar todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ que satisfacen las dos condiciones siguientes:
a) $f(n) f(-n) = f(n^2)$ para toda $n \in \mathbb{Z}$
b) $f(m+n)=f(m) + f(n) +2mn$ para todos $m, n \in \mathbb{Z}$


2. Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 2$ tales que para números reales arbitrarios $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ se tiene la siguiente desigualdad
$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2 \geq n (x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_nx_1)$$

Problema del dia 7 de Septiembre

Encuentra todas las funciones $f$, de los números reales en los números reales que satisfacen
la ecuación $f(x)f(y) = f(x+y) + xy$ para cualesquiera números reales $x$ y $y$.

Problema del 17 de agosto

En cierto pais hay $n$ ciudades, algunas de las cuales estan conectadas
por aerolineas que van de ida y vuelta. Hay $m$ aerolineas diferentes en total.
Para $i=1, 2, \dots, n$, sea $d_i$ el numero de aerolineas que salen de la ciudad $i$. Si
$1 \leq d_i \leq 2010$ para cada $i=1, 2, \dots, 2010$, muestra que
$$\sum_{i=1}^n d_i^2 \leq 4022m - 2010n.$$

Encuentra todos los $n$ para los cuales la igualdad se alcanza.