Problema del día viernes 15 de junio del 2012 (Juan)

(a) Tengo unos discos cerrados en el plano. Todo punto del plano está contenido en a lo más 2003 discos. Demuestra que uno de esos discos tiene una intersección no vacía con a lo más 14020 discos.
(b) Tenemos un triángulo acutángulo ABC con F un punto en su interior tal que los ángulos AFB, BFC y CFA miden lo mismo. Tenemos que CF intersecta a AB en D y BF a AC en E. Demuestra que AB+AC $\ge$ 4DE.

Problema del dia 21 de mayo (Jorge)

Sean $\omega _1,\omega _2$ dos circunferencias. Sea $S$ el conjunto de tríangulos $ABC$, tal que $\omega _1$ es su circuncírculo y $\omega _2$ su excírculo, $\omega _2$ es tangente a $BC, AC, BC$ en $D,E,F$ respectivamente.
Para todo $ABC$ en $S$, demuestra que el gravicentro del $DEF$ es un punto fijo.

Problema del día

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia con centro $O$ y sin lados paralelos. Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de lados opuestos se cortan en $O$ si y sólo si
$OA\cdot OC=OB\cdot OD$.

Problema de ayer.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC=DE$,
$\angle BAC=\angle ABE= \angle AED-90^{\circ}$
y $\angle ADE=\angle ACB$.

Demuestra que $BCDE$ es un paralelogramo.

Problema del día.

Demuestra que en cualquier triángulo, las rectas que unen el punto medio de cada lado con el punto medio de su altura correspondiente, se intersectan en el punto simediano del triángulo.

Problema del día: Geometría

¡Perdón, se me pasó poner ayer el problema! Pero bueno, aquí está:

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$. El excírculo $\omega _a$ toca a $AB, AC$ y $BC$ en $K, M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que si el punto medio de $KM$ está sobre el circuncírculo de $ABC$, entonces $O, N$ e $I$ son colineales.

Problema del día 29 de Agosto.

Sea $D$ el punto medio de la base $AB$ del triángulo isósceles acutángulo $ABC$. Elegimos un punto $E$ en $AB$, y sea $O$ el circuncentro de $ACE$. Demuestra que la línea por $D$ perpendicular a $DO$, la perpendicular a $BC$ que pasa por $E$ y la paralela a $AC$ que pasa por $B$ concurren.

¡No me han dicho qué días van a poner sus posts! Si no me avisan en la semana, yo les asigno el día a cada uno.

Varios problemas del día (Centros)

1) En la escuela de Octavio, la maestra de matemáticas puso el siguiente problema: Se tiene una primera lista de números $L_1=\{1,2,3,...,2006\}$. La lista nueva se hace poniendo las sumas y las restas de cada pareja de números en la lista anterior. Sea $A_n$ la suma de los números en la $n$-ésima lista $L_n$ y sea $B_n$ la cantidad de números en la $n$-ésima lista $L_n$. Muestra que 2$A_{2008}B_{2009}=3A_{2009}B_{2008}$.

Juan no sabe si los números repetidos en la lista se cuentan una o varias veces, entonces decide preguntar a la maestra. Ella responde que no importa, pues en ambos casos el problema es cierto. Demuestra que la maestra tiene razón.

2)En un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$, se definen los puntos $O_A,O_B,O_C$ como los circuncentros de los triángulos $OBC$, $OCA$ y $OAB$, respectivamente. Determinar condiciones necesarias y suficientes en el triángulo $ABC$ para que $O_AO_BO_C$ sea un triángulo equilátero.

3) Se tiene un triángulo equilátero de lado $n$ dividido en $n^2$ triangulitos equiláteros de lado 1 de la forma usual. Se quiere colocar tres fichas, cada una en casillas distintas, de manera tal que no haya dos casillas vecinas con ficha. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Dos casillas son vecinas si comparten un lado y dos acomodos se consideran distintos aunque uno pueda obtener el otro rotando o reflejando)

4) Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida de la siguiente forma:

\[a_1=1\\\ a_2=1,\\\ a_3=2,\\\ a_{n+3}=a_{n+2}+a_n.\]

Probar que para todo entero positivo $n$ existen enteros positivos $i,j,k,m$, no necesariamente distintos, tales que $a_{2n}=a_i^2+a_j^2+a_k^2-a_m^2$.

Problemas del 21 y 22 de Mayo (Centros)

1) Sea $M$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. La bisectriz del $\angle ACD$ corta al rayo $BA$ en $K$. Si $MA\cdot MC+MA\cdot CD=MB\cdot MD$, prueba que $\angle BKC=\angle CDB.$

2)En un país con 2000 ciudades se quiere construir una nueva red de caminos para comunicarlas. ¿Es posible hacer esto de manera tal que haya exactamente dos ciudades a las que llegue un camino, exactamente dos ciudades a las que lleguen dos caminos,..., exactamente dos ciudades a las que lleguen 1000 caminos?

Problema del día 16 de Mayo (Centros)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $AD$ la altura desde $A$. Sea $E$ un punto en el segmento $AD$ de tal manera que $\angle BEC=90^{\circ}$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de $BAE$ y $CAE$, respectivamente. Si $F$ es el punto medio de $BC$ y $G$ es el punto medio de $O_1O_2$, demuestra que $E$, $F$ y $G$ son colineales.

Teorema de las isogonales de Jacobi

Aquí pongo un teorema que me ha sido muy útil para concluir rápidamente varios problemas de geometría. Espero que les pueda ser de ayuda.

Teorema de las isogonales de Jacobi: Sea $ABC$ un triángulo, sobre los lados de éste se construyen triángulos $BPC, CQA$ y $ARB$ de tal manera que $\angle CAQ=\angle BAR$, $\angle ABR=\angle CBP$ y $\angle BCP=\angle ACQ$. Entonces las rectas $AP, BQ$ y $CR$ son concurrentes.

Problema del día Martes 26 de abril de 2011 - GEO

El incírculo del triángulo $ABC$ toca al lado $CA$ en $K$. Una segunda circunferencia $S$ con el mismo centro intersecta a cada lado del triángulo en dos puntos. Sean $E$ y $F$ las intersecciones con $AB$ y $BC$ más cercanas a $B$, sean $B_1$ y $B_2$ las intersecciones con $CA$ con $B_1$ más cercano a $A$. Finalmente, sea $P$ la intersección de $B_2E$ con $B_1F$. Muestra que los puntos $B$, $K$ y $P$ son colineales.

Problema del día - Martes 29 de marzo de 2011 - GEO

El triángulo $ABC$ tiene excentros $I_a$, $I_b$, $I_c$. Los ortocentros de los triángulos $I_aBC$, $I_bCA$ e $I_cAB$ son $H_a$, $H_b$ y $H_c$, respectivamente. Muestra que las líneas $AH_a$, $BH_b$ y $CH_c$ concurren y que el punto de concurrencia está sobre la línea que une el incentro y el gravicentro del triángulo $ABC$.

Problema del Día: Martes 22 de marzo de 2011

Sea $ABC$ un triángulo, con $\langle BAC = 60^\circ$. Sean $P,Q$ los pies de las perpendiculares desde $A$ a las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$, respectivamente. Si $BP=104$ y $CP=105$, ¿Cuál es el perímetro del triángulo $ABC?

Problema del Día: Martes 15 de marzo de 2011

Sea $ABC$ un triángulo, $L,M,N$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, y sean $X,Y,Z$ los puntos medios de las alturas desde $A,B,C$, respectivamente.

Pruebe que $LX,MY,NZ$ concurren en el punto simediano del triángulo $ABC$.

Problema del Día Martes 1ro de Marzo de 2011

Sea $ABC$ un triangulo de perimetro minimo (puede haber mas de uno) circunscrito a una figura convexa sin segmentos en su frontera. Supongamos que los lados $AB$, $BC$ y $CA$ del triangulo hacen contacto con la frontera del convexo en los puntos $M$, $N$ y $P$, respectivamente. Demuestra que $AB+BN=NC+CA=BC+CP=PA+AB=CA+AM=MB+BC$.

Problema del día, 22 de febrero (Geometría)

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=CA$. Si $B_1$ y $C_1$ son puntos sobre la recta $BC$ tales que $BC=B_1C_1$ y $P$, $Q$ las intersecciones del circuncírculo de $ABC$ con $AB_1$ y $AC_1$ respectivamente, demuestra que $PQ$ pasa por el punto medio de $BC_1$.

Problema del Día: 15 de Febrero de 2011

Sea $l$ una recta que pasa por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC$. Sean $l_a,l_b,l_c$ las reflexiones de $l$ con respecto a las rectas $BC,CA,AB$, respectivamente. Pruebe que $l_a,l_b,l_c$ son concurrentes.

Problema del día - 8 de febrero 2011 (geometría)

Este es uno de mis problemas favoritos, apareció en un selectivo para la IMO hace mucho tiempo pero no sé dónde surgió originalmente. Espero que no muchos lo conozcan.

Tienes una copa y un lápiz, con ellos puedes dibujar un círculo usando el borde de la copa (el círculo que queda es del mismo tamaño que el borde de la copa). En una hoja de papel está dibujado un círculo del mismo tamaño que el borde de la copa y un punto $P$ en este círculo. Es posible encontrar el punto diametralmente opuesto a $P$ usando únicamente la copa y el lápiz?

Notas:
Usar únicamente la copa y el lápiz significa que dados dos puntos puedes trazar cualquiera de los dos círculos que pasan por esos dos puntos y que tienen el mismo diámetro que el borde de la copa.
No se vale hacer trampa (romper la copa, marcar la copa, usar otros objetos, dibujar un círculo tangente a otro dado por un punto sin conocer otro punto por el que pase, usar una cantidad infinita de pasos, etc.)

Problema del Día: Martes 1ro de Febrero

Con un triángulo dado, construimos 3 puntos nuevos reflejando cada vértice con respecto al lado opuesto del triángulo. Demuestre que estos 3 nuevos puntos son colineales si y sólo si la distancia entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo es igual al diámetro del circuncírculo del triángulo.