México rumbo a la IMO: competencia de invierno

lunes, 16 de enero de 2012

Examen #2: Competencia de Invierno

Tiempo: 30 minutos Recuerden el codigo de honor !!!!!

1- El cuadrado

$\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline 50 & \textit{b} & \textit{c} \\\hline \textit{d} & \textit{e} & \textit{f} \\...$

es un cuadrado multiplicativo mágico. Esto es, el producto de los numeros en cada renglon, columna y diagonal es el mismo. Si todas las entradas son enteros positivos, cual es la suma de los posibles valores de $g$ ?

2- Una sucesión $a_1,a_2,\dots$ de enteros no negativos esta definida como $a_{n+2}=|a_{n+1}-a_n|$ para $n\geq 1$ . Si $a_1=999$ , $a_2<999$ y $a_{2006}=1$ , Cuantos valores diferentes para $a_2$ son posibles?

3- Sean $4^{x_1}=5$ , $5^{x_2}=6$ , $6^{x_3}=7$ , ... , $127^{x_{124}}=128$ . Encontrar el valor de $x_1x_2...x_{124}$ ?

4- Ocho esferas de radio 1, una por octante, son tangentes a los planos coordenados. Cual es el radio de la esfera mas pequeña, con centro en el origen, que contiene a estas 8 esferas?

5- Sean $a,b,c,d,e,f,g$ , $h$ distintos elementos en el conjunto

$\{-7,-5,-3,-2,2,4,6,13\}.$

Cual es el mínimo valor posible de

$(a+b+c+d)^{2}+(e+f+g+h)^{2}?$

6- Un entero positivo $n$ tiene $60$ divisores y $7n$ tiene $80$ divisores. Cual es el entero mas grande $k$ tal que $7^k$ divides $n$ ?

7- Todos los estudiantes en una clase tomaron un examen de $100$ puntos. Cinco estudiantes obtuvieron $100$ , cualquier estudiante obtuvo al menos $60$ , y la media fue $76$ . Cual es el numero mas pequeño posible de estudiantes en la clase?

8- En la sucesión $2001$ , $2002$ , $2003$ , $\ldots$ , cada termino después del tercero se encuentra restando el termino anterior de la suma de los 2 anteriores a ese. Por ejemplo, el 4o. termino es $2001 + 2002 - 2003 = 2000$ . Cual es el $2004^\textrm{th}$ termino de la sucesión ?

9- En el $\triangle ABC$ , $AB=13$ , $AC=5$ , y $BC=12$ . Los puntos $M$ y $N$ están en $AC$ y $BC$ , respectivamente, con $CM=CN=4$ . $J$ y $K$ están en $AB$ de manera que $MJ$ y $NK$ son perpendiculares a $AB$ . Cual es el área del pentágono $CMJNK$ ?

unitsize(0.5cm);defaultpen(0.8);pair C=(0,0), A=(0,5), B=(12,0), M=(0,4), N=(4,0);pair J=intersectionpoint(A--B, M--(M+rotate...

10- El primer termino de una sucesión es $2005$ . Cada termino subsecuente es la suma de los cubos de los digitos del termino anterior. Cual es el termino $2005^{\text{th}}$ de la sucesión?

11- El triangulo isósceles $\triangle ABC$ tiene un angulo recto en $C$ . El punto $P$ esta dentro de $\triangle ABC$ , tal que $PA=11$ , $PB=7$ , y $PC=6$ . Lados $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ tienen longitud $s=\sqrt{a+b\sqrt{2}{$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Encontrar $a+b$ ?

pathpen = linewidth(0.7); pointpen = black;pen f = fontsize(10);size(5cm);pair B = (0,sqrt(85+42*sqrt(2)));pair A = (B.y,0);p...

12- Dado que $2^{2004}$ es un numero de $604$ dígitos cuyo primer dígito es $1$ , Cuantos elementos de el conjunto $S = \{2^0,2^1,2^2,\ldots ,2^{2003}\}$ tienen 4 como primer dígito?

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