Problema del día viernes 15 de junio del 2012 (Juan)

(a) Tengo unos discos cerrados en el plano. Todo punto del plano está contenido en a lo más 2003 discos. Demuestra que uno de esos discos tiene una intersección no vacía con a lo más 14020 discos.
(b) Tenemos un triángulo acutángulo ABC con F un punto en su interior tal que los ángulos AFB, BFC y CFA miden lo mismo. Tenemos que CF intersecta a AB en D y BF a AC en E. Demuestra que AB+AC $\ge$ 4DE.

Problema del día Viernes 8 de junio del 2012 (Juan)

Computar $v_2\left( 3^{\frac{5^{2^n}-1}{2^{n+2}}} - (-5)^{\frac{3^{2^n}-1}{2^{n+2}}} \right)$. Por favor ignoren la $A$.

Problema del día, Viernes 1 de junio del 2012 (Juan).

(a) Tengo una gráfica donde cada vértice tiene grado al menos 50 y a lo más 100. Tengo 1331 colores. Demuestra que puedo colorear cada vértice de modo que todo vértice V tenga 20 (o más) amigos todos coloreados de diferente color.
(b) El mismo problema, pero con 49 colores, no 1331.

Problema del día 29 de Agosto.

Sea $D$ el punto medio de la base $AB$ del triángulo isósceles acutángulo $ABC$. Elegimos un punto $E$ en $AB$, y sea $O$ el circuncentro de $ACE$. Demuestra que la línea por $D$ perpendicular a $DO$, la perpendicular a $BC$ que pasa por $E$ y la paralela a $AC$ que pasa por $B$ concurren.

¡No me han dicho qué días van a poner sus posts! Si no me avisan en la semana, yo les asigno el día a cada uno.

Problema del día 22 de Agosto.

Sean $k, t\in \mathbb{N}$, $k,t,\ge 2$, primos relativos. Comenzamos con la permutación $(1,2,...,n)$ y podemos intercambiar de lugar dos enteros si su diferencia es $k$ o $t$. Demuestra que con es posible obtener cualquier permutación de $1,2,...,n$ aplicando cambios permitidos si y sólo si $n\geq k+t-1$.

Varios problemas del día (Centros)

1) En la escuela de Octavio, la maestra de matemáticas puso el siguiente problema: Se tiene una primera lista de números $L_1=\{1,2,3,...,2006\}$. La lista nueva se hace poniendo las sumas y las restas de cada pareja de números en la lista anterior. Sea $A_n$ la suma de los números en la $n$-ésima lista $L_n$ y sea $B_n$ la cantidad de números en la $n$-ésima lista $L_n$. Muestra que 2$A_{2008}B_{2009}=3A_{2009}B_{2008}$.

Juan no sabe si los números repetidos en la lista se cuentan una o varias veces, entonces decide preguntar a la maestra. Ella responde que no importa, pues en ambos casos el problema es cierto. Demuestra que la maestra tiene razón.

2)En un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$, se definen los puntos $O_A,O_B,O_C$ como los circuncentros de los triángulos $OBC$, $OCA$ y $OAB$, respectivamente. Determinar condiciones necesarias y suficientes en el triángulo $ABC$ para que $O_AO_BO_C$ sea un triángulo equilátero.

3) Se tiene un triángulo equilátero de lado $n$ dividido en $n^2$ triangulitos equiláteros de lado 1 de la forma usual. Se quiere colocar tres fichas, cada una en casillas distintas, de manera tal que no haya dos casillas vecinas con ficha. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Dos casillas son vecinas si comparten un lado y dos acomodos se consideran distintos aunque uno pueda obtener el otro rotando o reflejando)

4) Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida de la siguiente forma:

\[a_1=1\\\ a_2=1,\\\ a_3=2,\\\ a_{n+3}=a_{n+2}+a_n.\]

Probar que para todo entero positivo $n$ existen enteros positivos $i,j,k,m$, no necesariamente distintos, tales que $a_{2n}=a_i^2+a_j^2+a_k^2-a_m^2$.

Problema del día 31 de MAyo (Centros)

En un triángulo $ABC$, el punto medio de $BC$ es $L$. La bisectriz de $\angle CLA$ corta a $AC$ en $M$ y la de $\angle BLA$ corta a $AB$ en $N$. El circuncírculo de $LMN$ corta de nuevo a $AL$ en $X$ y a $BC$ en $Y$. La recta $XY$ corta a las rectas $LM$ y $LN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Muestra que $NP$ y $MQ$ son perpendiculares.

Problema del día 26 de Mayo (Centros)

En cada vértice de un cuadrado se pone una piedra. Un movimiento consiste en elegir un vértice y quitar cualquier cantidad de piedras, luego, agregamos el doble de las que quitamos a un vértice adyacente al primero. ¿Es posible llegar a tener 2011, 2010, 2012, 2011 piedras en los vértices (en ese orden)?

Ah, también aprovecho para avisarles como va a estar lo de la ida. Adán y Juán se van en autobús a Colima el día 16, Enrique y yo llegaremos el 17 como a medio día más o menos. El vuelo sale de Toluca, a las 7:00AM, el 17.

Problemas del 24 y 25 de Mayo (Centros)

1) Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio de $AB$, $H$ el pie de la altura desde $C$ y $P$ un punto dentro del triángulo tal que $AP=AC$. Demuestra que $PM$ biseca al $\angle BPH$ si y sólo si $\angle A=60^{\circ}.$

2) Sea $\{a_n\}$ una sucesión con $a_1=43$, $a_2=142 $ y $a_{n+2}=3a_{n+1}+a_n$ para $n\geq 1$. Demuestra que para todo $n$, $(a_n,a_{n+1})=1$ y que para todo entero positivo $m$, existen infinitos naturales $n$ tales que $m$ divide a $a_n-1$ y a $a_{n+1}-1.$

Problema del día 23 de Mayo (Centros)

Sean $a$ y $b$ entreros positivos con $a\ge 2$ y $b\ge 3$. Demuestra que $a^b+1\geq b(a+1)$ y determina cuándo se da la igualdad.

Problemas del 21 y 22 de Mayo (Centros)

1) Sea $M$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$. La bisectriz del $\angle ACD$ corta al rayo $BA$ en $K$. Si $MA\cdot MC+MA\cdot CD=MB\cdot MD$, prueba que $\angle BKC=\angle CDB.$

2)En un país con 2000 ciudades se quiere construir una nueva red de caminos para comunicarlas. ¿Es posible hacer esto de manera tal que haya exactamente dos ciudades a las que llegue un camino, exactamente dos ciudades a las que lleguen dos caminos,..., exactamente dos ciudades a las que lleguen 1000 caminos?

Problema del día 18 de Mayo (Centros)

Demuestra que se cumple
\[ \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(a+c)}+\frac{1}{1+c^{2}(b+a)}\le\frac{1}{abc} \]

para reales positivos $a,b,c$ con $ab+bc+ca=3$.


Problema de día 17 de Mayo (Centros)

Se tienen 2000 pelotas blancas en una caja. También se tiene un suministro inagotable de pelotas blancas, verdes y rojas. En cada turno podemos reemplazar dos pelotas de la caja con una o dos pelotas de acuerdo a las siguientes reglas: Dos blancas con una verde, dos rojas con una verde, dos verdes con una blanca y una roja, una blanca y una verde con una roja o una verde y una roja con una blanca.

$(i)$ Si después de hacer algunos cambios quedan tres pelotas en la caja, demuestra que al menos una de ellas es verde.

$(ii)$ ¿Es posible hacer algunos cambios de tal manera que quede sólo una pelota en la caja?

Problema del día 16 de Mayo (Centros)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $AD$ la altura desde $A$. Sea $E$ un punto en el segmento $AD$ de tal manera que $\angle BEC=90^{\circ}$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de $BAE$ y $CAE$, respectivamente. Si $F$ es el punto medio de $BC$ y $G$ es el punto medio de $O_1O_2$, demuestra que $E$, $F$ y $G$ son colineales.

Problema del día Martes 26 de abril de 2011 - GEO

El incírculo del triángulo $ABC$ toca al lado $CA$ en $K$. Una segunda circunferencia $S$ con el mismo centro intersecta a cada lado del triángulo en dos puntos. Sean $E$ y $F$ las intersecciones con $AB$ y $BC$ más cercanas a $B$, sean $B_1$ y $B_2$ las intersecciones con $CA$ con $B_1$ más cercano a $A$. Finalmente, sea $P$ la intersección de $B_2E$ con $B_1F$. Muestra que los puntos $B$, $K$ y $P$ son colineales.

Problema del día (GEO)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Se eligen puntos $A_1,B_1,C_1$ en las alturas de $A,B$ y $C$, respetivamente, de manera tal que $(A_1BC)+(AB_1C)+(ABC_1)=(ABC)$. Demuestra que el circuncírculo de $A_1,B_1,C_1$ pasa por el ortocentro de $ABC$.

Problema del día

Les dejo este problema en lugar de la competencia de Invierno, a algunos ya se los había platicado alguna vez pero según yo nadie lo resolvió completo.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que

\[(f(n))^p\equiv n\pmod {f(p)}\]

para cualquier $n\in \mathbb{N}$ y $p$ primo.

¡Échenle ganas a los entrenamientos! ¡Les quedan tres meses antes de la IMO, en los que pueden aprender mucho si los aprovechan!

Problema del día - Martes 29 de marzo de 2011 - GEO

El triángulo $ABC$ tiene excentros $I_a$, $I_b$, $I_c$. Los ortocentros de los triángulos $I_aBC$, $I_bCA$ e $I_cAB$ son $H_a$, $H_b$ y $H_c$, respectivamente. Muestra que las líneas $AH_a$, $BH_b$ y $CH_c$ concurren y que el punto de concurrencia está sobre la línea que une el incentro y el gravicentro del triángulo $ABC$.

Problema del Día - 18 de marzo (NUM)

Un número capicua en base $b$ es un entero positivo cuyos dígitos en base $b$ se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, $2002$ es un $4$-dígitos capicua en base $10$. Nota que $200$ no es capicua en base $10$, pero es un $3$-dígitos capicua en base $9$ ($200 = 242$ en base $9$) y un $3$-dígitos capicua en base $7$ ($200 = 404$ en base 7). Demuestra que existe un entero que es 3-dígitos capicua en base $b$ para al menos $2002$ diferentes valores de $b$.

Problema del día: Jueves 17 de marzo del 2011, Algebra

Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que para cualquier numero racional $r$, la ecuacion $P(x)=r$ tiene una solucion racional.