Otro problema de lista corta...

Solución del problema N4

Problema del día: 6 de junio del 2009

Sean a_1, a_2, ... , a_100 números reales no negativos tales que

(a_1)^2 + (a_2)^2 + · · · + (a_100)^2 = 1.

Muestra que

(a_1)^2 · a_2 + (a_2)^2 · a_3 + (a_3)^2 · a_4 + · · · + (a_100)^2 · a_1 < 12/25

(problema de lista corta, equivale a un problema 5 o 3 de la IMO)

N4 lista corta

Encuentra todas las ternas (a, m, n) de enteros positivos tales que a^m+1 divida a (a+1)^n.

Solución 28 mayo, Irving

Sea n un entero mayo que 2007. Primero mostramos que podemos encontrar un triángulo de lados b_2009, r_2009 y w_2009. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que b_2009 es el segmento más grande de los 6027 que hay en total. Entonces como b_2009 es un lado de uno de los 2009 triángulos originales tenemos b_2009< r_i+w_r para algunos enteros i,w<=2009. Pero r_i+w_r< r_2009+w_2009, entonces b_2009Voy a probar que podemos tener k=1. Sea n>2007 un entero positivo. Consideremos los siguientes 2009 triángulos: (2n,2n,n-2007) y (2t,t,t+1) con t=n,n-1,n-2,...,n-2007. En los triángulos (2t,t,t+1) pintamos de azul el lado 2t, de rojo el lado t y de blanco el lado t+1. Para el triángulo (2n,2n,n-2007) pintamos de azul un lado 2n, de rojo el otro lado 2n y de blanco el lado n-2007. Entonces para j=1,2,...,2008 se tiene b_j=2t y r_j=w_j=t para algún entero positivo t entre n y n-2007. Entonces no hay triángulo con lados b_j, r_j, w_j, excepto cuando j=2009.

Problema del Día: 28 de mayo

Encuentra el mayor entero positivo k, tal que el siguiente enunciado es verdadero:

Considera 2009 triángulos no degenerados dados. En cada triángulo, los tres lados se pintan, uno de azul, uno de rojo y uno de blanco. Ahora, para cada color por separado, se ordenan las longitudes de los lados y se obtiene

b_1 <= b_2 <= ...<= b_2009 las longitudes de los lados azules
r_1 <= r_2 <= ... <=r_2009 las longitudes de los lados rojos
w_1 <= w_2 <= ...<= w_2009 las longitudes de los lados blancos

Entonces existen k indices j tales que se puede formar un triángulo no degenerado con longitudes b_j, r_j, w_j.


(problema de lista corta, equivale a un problema 1 o 4 de la IMO)

Problema de lista corta

Pongo un problema lista corta propuesto por Colombia, está bueno.

Considera el sistema
x+y=z+u
2xy=zu
Encuentra el máximo valor de la constante real m tal que m es menor o igual que x/y para cada solución entera positiva x, y, z, u del sistema y con x mayor o igual que y.