Problema del día Viernes 8 de junio del 2012 (Juan)

Computar $v_2\left( 3^{\frac{5^{2^n}-1}{2^{n+2}}} - (-5)^{\frac{3^{2^n}-1}{2^{n+2}}} \right)$. Por favor ignoren la $A$.

Varios problemas del día (Centros)

1) En la escuela de Octavio, la maestra de matemáticas puso el siguiente problema: Se tiene una primera lista de números $L_1=\{1,2,3,...,2006\}$. La lista nueva se hace poniendo las sumas y las restas de cada pareja de números en la lista anterior. Sea $A_n$ la suma de los números en la $n$-ésima lista $L_n$ y sea $B_n$ la cantidad de números en la $n$-ésima lista $L_n$. Muestra que 2$A_{2008}B_{2009}=3A_{2009}B_{2008}$.

Juan no sabe si los números repetidos en la lista se cuentan una o varias veces, entonces decide preguntar a la maestra. Ella responde que no importa, pues en ambos casos el problema es cierto. Demuestra que la maestra tiene razón.

2)En un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$, se definen los puntos $O_A,O_B,O_C$ como los circuncentros de los triángulos $OBC$, $OCA$ y $OAB$, respectivamente. Determinar condiciones necesarias y suficientes en el triángulo $ABC$ para que $O_AO_BO_C$ sea un triángulo equilátero.

3) Se tiene un triángulo equilátero de lado $n$ dividido en $n^2$ triangulitos equiláteros de lado 1 de la forma usual. Se quiere colocar tres fichas, cada una en casillas distintas, de manera tal que no haya dos casillas vecinas con ficha. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Dos casillas son vecinas si comparten un lado y dos acomodos se consideran distintos aunque uno pueda obtener el otro rotando o reflejando)

4) Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida de la siguiente forma:

\[a_1=1\\\ a_2=1,\\\ a_3=2,\\\ a_{n+3}=a_{n+2}+a_n.\]

Probar que para todo entero positivo $n$ existen enteros positivos $i,j,k,m$, no necesariamente distintos, tales que $a_{2n}=a_i^2+a_j^2+a_k^2-a_m^2$.

Lema para polinomios cuadráticos

Me di cuenta que el problema 1 que puse se puede generalizar en un lema que se ve muy fuerte.

Aquí lo pongo para quien quiera intentar demostrarlo.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $2$ con coeficientes enteros. Demuestra que existen una infinidad de primos $p$ tal que $P(n)$ es múltiplo de $p$ para algún entero $n$.

Problemas del día sábado 28 de mayo (Jorge)

Me quedé sin internet y por eso no subí ayer el problema del día.

En la semana me encontré con algunos problemas que están relacionados con la distribución de los primos y me parecieron interesantes. Aquí los pongo en orden de dificultad (según yo):

1.- Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que existen $n$ enteros $k_1, k_2\ldots k_n$ mayores que uno y primos relativos por parejas, tales que el número $k_1k_2\ldots k_n-1$ se puede expresar como producto de dos enteros consecutivos.

2.- Decimos que una pareja ordenada $(m,n)$ es una pareja chilanga si $n>m>1$ y cumple que $m$ tiene los mismos divisores primos que $n$ y $m+1$ tiene los mismos divisores primos que $n+1$. Demuestra que existen una infinidad de parejas chilangas.

3.-Sea $n$ un entero positivo, definimos $f(n)$ como el número de primos distintos que dividen a $n$. Demuestra que existen una infinidad de enteros positivos $m$ tal que $f(m+2)>f(m+1)>f(m)$.

4.- Para todo entero positivo $d$, demuestra que hay una infinidad de enteros positivos $n$, tal que $d(n!)-1$ es un número compuesto.

Problemas del 24 y 25 de Mayo (Centros)

1) Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C=90^{\circ}$. Sea $M$ el punto medio de $AB$, $H$ el pie de la altura desde $C$ y $P$ un punto dentro del triángulo tal que $AP=AC$. Demuestra que $PM$ biseca al $\angle BPH$ si y sólo si $\angle A=60^{\circ}.$

2) Sea $\{a_n\}$ una sucesión con $a_1=43$, $a_2=142 $ y $a_{n+2}=3a_{n+1}+a_n$ para $n\geq 1$. Demuestra que para todo $n$, $(a_n,a_{n+1})=1$ y que para todo entero positivo $m$, existen infinitos naturales $n$ tales que $m$ divide a $a_n-1$ y a $a_{n+1}-1.$

Problema 2 del día sábado 21 de mayo (Jorge)

Pongo otro para los que ya hayan visto la solución del otro que puse hoy, que por lo que dice Flavio serán la mayoría. Éste me pareció bonito y un poco raro.

Sean $0\leq\alpha<\beta\leq1$ reales. Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $\alpha<\frac{\phi(n)}{n}<\beta$.

Donde $\phi(n)$ es la función de Euler.

Problema del día sábado 21 de mayo (Jorge)

a) Sea $n>1$ un número entero, y sea $p$ un primo que divide a $2^{2^n}+1$.

Demostrar que $p-1$ es múltiplo de $2^{n+2}$.

b) Demostrar que existen infinitas parejas de primos $(p,q)$ tal que $p$ divide a $2^{q-1}-1$ y $q$ divide a $2^{p-1}-1$.

Problema del día

Les dejo este problema en lugar de la competencia de Invierno, a algunos ya se los había platicado alguna vez pero según yo nadie lo resolvió completo.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que

\[(f(n))^p\equiv n\pmod {f(p)}\]

para cualquier $n\in \mathbb{N}$ y $p$ primo.

¡Échenle ganas a los entrenamientos! ¡Les quedan tres meses antes de la IMO, en los que pueden aprender mucho si los aprovechan!

Problema del Día - 18 de marzo (NUM)

Un número capicua en base $b$ es un entero positivo cuyos dígitos en base $b$ se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; por ejemplo, $2002$ es un $4$-dígitos capicua en base $10$. Nota que $200$ no es capicua en base $10$, pero es un $3$-dígitos capicua en base $9$ ($200 = 242$ en base $9$) y un $3$-dígitos capicua en base $7$ ($200 = 404$ en base 7). Demuestra que existe un entero que es 3-dígitos capicua en base $b$ para al menos $2002$ diferentes valores de $b$.

Problem del Día - 25 de febrero

Demuestra que existe sólo una pareja de enteros positivos $a$ y $n$ tal que
$$a^{n+1} -(a+1)^n = 2001. $$

Problema del Día 11 de febrero (teoría de números)

Demuestra que para todo entero positivo $n$:

$$n! = \prod_{i=1}^n mcm\{1,2,\ldots,\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\}.$$

Donde $mcm$ es el mínimo común múltiplo y $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero $\leq x$.

Problema del Día - 4 de febrero 2011 (teoría de números)

Sea $S$ un conjunto de números racionales tal que se cumplen las siguientes 3 cosas:

1) $0 \in S$

2) Si $x\in S$, entonces $x+1\in S$ y $x-1\in S$.

3) Si $x\in S$ y $x\not\in\{0,1\}$ entonces $\frac{1}{x(x-1)}\in S$.

Estará $S$ forzado a contener a todos los racionales.

Problema del día 28 de Enero-NUM

Sean $x,y,z\in \mathbb{N}$. Encuentra todos los enteros que se pueden representar como

\[ \frac{(x+y+z)^2}{xyz}\]

Problema del Dia (viernes 21 de enero - NUM)

Demuestra que para todo entero positivo $n$, el número $10^{10^{10^n}}+10^{10^n}+10^n-1$ no es primo.

Problema del día: 12 de Enero de 2011

Existirán 100 enteros positivos, todos ellos menores que 25000, de tal forma que la suma de cada par de ellos es un numero distinto?

Problema del 6 de enero

Sea $p>2$ un número primo dado y sea \[ S_{k}= 1^{k}+2^{k}+\ldots+(p-1)^{k} \] Determina los valores de $k \in \mathbb{N} $ para los cuales $ p\, |\, S_{k} $.

Problema del 1 de septiembre

Demostrar que si a^n+n divide a b^n+n para todo n entonces a=b.

Problema del día 11

(Este es el problema que Fer no pudo poner en una nueva entrada)

El problema del día 11 es el siguiente:
Probar que la secuencia 1, 11, 111,... contiene una subsecuencia de primos relativos por parejas.

Problema del Dia 10 de Agosto

Encuentra los últimos tres dígitos de $2003^{2002^{2001}}$.

Solución del problema N4