Problema Del Día, Viernes 18 de mayo del 2012 (Juan)

Va poquito temprano.
Determina todas las funciones f de reales a reales tales que para todos x,y reales,
$f\left(x-f(y)\right)=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$.

Método "uvw"

Aquí pongo un artículo que me encontré hace unos días resolviendo este problema "http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1974763&sid=9d5906bdcf48f767086bb648c2cc9fd4#p1974763" es buen método para usar cuando las ideas se acaban a la hora de intentar una desigualdad, de hecho el problema que mencioné salía trivial usándolo. Aquí está el link de donde pueden descargar el artículo "http://www.mediafire.com/?wmyw0wzmwtw".

Varios problemas del día (Centros)

1) En la escuela de Octavio, la maestra de matemáticas puso el siguiente problema: Se tiene una primera lista de números $L_1=\{1,2,3,...,2006\}$. La lista nueva se hace poniendo las sumas y las restas de cada pareja de números en la lista anterior. Sea $A_n$ la suma de los números en la $n$-ésima lista $L_n$ y sea $B_n$ la cantidad de números en la $n$-ésima lista $L_n$. Muestra que 2$A_{2008}B_{2009}=3A_{2009}B_{2008}$.

Juan no sabe si los números repetidos en la lista se cuentan una o varias veces, entonces decide preguntar a la maestra. Ella responde que no importa, pues en ambos casos el problema es cierto. Demuestra que la maestra tiene razón.

2)En un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$, se definen los puntos $O_A,O_B,O_C$ como los circuncentros de los triángulos $OBC$, $OCA$ y $OAB$, respectivamente. Determinar condiciones necesarias y suficientes en el triángulo $ABC$ para que $O_AO_BO_C$ sea un triángulo equilátero.

3) Se tiene un triángulo equilátero de lado $n$ dividido en $n^2$ triangulitos equiláteros de lado 1 de la forma usual. Se quiere colocar tres fichas, cada una en casillas distintas, de manera tal que no haya dos casillas vecinas con ficha. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Dos casillas son vecinas si comparten un lado y dos acomodos se consideran distintos aunque uno pueda obtener el otro rotando o reflejando)

4) Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida de la siguiente forma:

\[a_1=1\\\ a_2=1,\\\ a_3=2,\\\ a_{n+3}=a_{n+2}+a_n.\]

Probar que para todo entero positivo $n$ existen enteros positivos $i,j,k,m$, no necesariamente distintos, tales que $a_{2n}=a_i^2+a_j^2+a_k^2-a_m^2$.

Problema del día 23 de Mayo (Centros)

Sean $a$ y $b$ entreros positivos con $a\ge 2$ y $b\ge 3$. Demuestra que $a^b+1\geq b(a+1)$ y determina cuándo se da la igualdad.

Problema del día 18 de Mayo (Centros)

Demuestra que se cumple
\[ \frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(a+c)}+\frac{1}{1+c^{2}(b+a)}\le\frac{1}{abc} \]

para reales positivos $a,b,c$ con $ab+bc+ca=3$.


Problema del día 14 de Mayo (Centros)

Sean $a_1, a_2,...,a_n$ números reales positivos tales que \[ \sum^{n}_{i = 1}a_{i}=\sum^{n}_{i = 1}\frac{1}{a_{i}^{2}}. \]

Demuestra que para cada $i=1,2,...,n$ podemos encontrar $i$ de los $n$ números cuya suma sea al menos $i$.

Problema del 17 de Enero

¿Para cuáles $n\in \mathbb{N}$ el polinomio $x^n+x-1$ es divisible entre

(a) $x^2-x+1$

(b) $x^3-x+1$?

Problema del día: 6 de junio del 2009

Sean a_1, a_2, ... , a_100 números reales no negativos tales que

(a_1)^2 + (a_2)^2 + · · · + (a_100)^2 = 1.

Muestra que

(a_1)^2 · a_2 + (a_2)^2 · a_3 + (a_3)^2 · a_4 + · · · + (a_100)^2 · a_1 < 12/25

(problema de lista corta, equivale a un problema 5 o 3 de la IMO)

Pregunta.

A ver si alguien me puede ayudar. Estaba intentando un problema de ecuaciones funcionales de Vietnam y tengo una duda. Bueno, el link está abajo, ahí viene el problema y dos soluciones. Te piden encontrar el máximo número real A que cumple una desigualdad. Pero, necesariamente existe ese real? En la solución de un tal olorin encuentra A de una forma sencilla, pero asumiendo que existe. Y si no existiera? O porque te lo pide el problema puedes asumir que existe? Tal vez la respuesta sea la segunda solución que dan con una sucesión que converge a 1/2. Puede sonar tonto, pero tego la duda, con eso de que la sucesión converge a 1/2 nos aseguramos de que no podría suceder algo como que el A que busquemos no exista porque para cada constante k que cumpla la desigualdad podemos encontrar otra constante mayor k' > k pero siempre menor que 1/2. No podría existir una función de las de la familia F que no cumpla la desigualdad cuando k=1/2. Es que con eso de que las sucesiones convergen siempre me confundo...

Problema

Desigualdad

Pongo una desigualdad que no me sale, a ver si alguien tiene idea de cómo hacerla (de preferencia sin usar multiplicadores de Lagrange).

Sean x,y,z reales positivos, demostrar que


81xyz(x^2+y^2+z^2)<=(x+y+z)^5

Solución 28 mayo, Irving

Sea n un entero mayo que 2007. Primero mostramos que podemos encontrar un triángulo de lados b_2009, r_2009 y w_2009. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que b_2009 es el segmento más grande de los 6027 que hay en total. Entonces como b_2009 es un lado de uno de los 2009 triángulos originales tenemos b_2009< r_i+w_r para algunos enteros i,w<=2009. Pero r_i+w_r< r_2009+w_2009, entonces b_2009Voy a probar que podemos tener k=1. Sea n>2007 un entero positivo. Consideremos los siguientes 2009 triángulos: (2n,2n,n-2007) y (2t,t,t+1) con t=n,n-1,n-2,...,n-2007. En los triángulos (2t,t,t+1) pintamos de azul el lado 2t, de rojo el lado t y de blanco el lado t+1. Para el triángulo (2n,2n,n-2007) pintamos de azul un lado 2n, de rojo el otro lado 2n y de blanco el lado n-2007. Entonces para j=1,2,...,2008 se tiene b_j=2t y r_j=w_j=t para algún entero positivo t entre n y n-2007. Entonces no hay triángulo con lados b_j, r_j, w_j, excepto cuando j=2009.

Problema del Día: 28 de mayo

Encuentra el mayor entero positivo k, tal que el siguiente enunciado es verdadero:

Considera 2009 triángulos no degenerados dados. En cada triángulo, los tres lados se pintan, uno de azul, uno de rojo y uno de blanco. Ahora, para cada color por separado, se ordenan las longitudes de los lados y se obtiene

b_1 <= b_2 <= ...<= b_2009 las longitudes de los lados azules
r_1 <= r_2 <= ... <=r_2009 las longitudes de los lados rojos
w_1 <= w_2 <= ...<= w_2009 las longitudes de los lados blancos

Entonces existen k indices j tales que se puede formar un triángulo no degenerado con longitudes b_j, r_j, w_j.


(problema de lista corta, equivale a un problema 1 o 4 de la IMO)

Solución problema 21 de mayo, Irving

Problema del día: Mayo-21-10 (Álgebra)

Demostrar que no podemos partir los enteros positivos en 3 partes no vacías, de tal forma que si a y b pertenecen a partes diferentes, entonces a² - ab + b² pertenece a la tercera de las partes.