Problema del día

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia con centro $O$ y sin lados paralelos. Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de lados opuestos se cortan en $O$ si y sólo si
$OA\cdot OC=OB\cdot OD$.

Problema del dia: Viernes

A) Demuestre que para todo entero $a>2$ existen una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $n|a^n-1$
B)Sea $n\ge 2$ natural. Si $\frac{b^n-1}{b-1}$ es potencia de un primo para algun entero positivo $b$, entonces $n$ es primo.

Problema del Día Jueves 23 (Álgebra)

Encuentra todos los polinomios $P(x,y)$ con coeficientes reales tales que para todos $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$ se tiene que
$$P(ab,c^2+1)+P(bc,a^2+1)+P(ca,b^2+1)=0.$$

Problemas del día: Dobles en el conjunto y palabras binarias

Determina si el conjunto $\{1,2,3,\ldots,3000\}$ contiene un subconjunto $A$ con $2000$ elementos tal que si $x$ está en $A$, entonces $2x$ no está en $A$.

Muestra que hay a lo más $\frac{2^n}{n+1}$ palabras binarias de $n$ d\'igitos que difieren en al menos $3$ lugares cada dos de ellas.

Competencia de Invierno: Lunes 20 de Febrero

Hola muchachos,

El día de ahora las preguntas serán diferentes, como quiera espero que todos las contesten (sin miedo y con seriedad). Las voy a ir poniendo poco a poco y les voy a dar algunos minutillos para cada una, dependiendo de la pregunta, como quiera, al final pueden volver a alguna y responderla mas y mejor si asi lo quieren, sale !!

Pregunta #1:  Dando un porcentaje del  0% al 100% cual es la probabilidad de que quedes en la selección Mexicana para la IMO?

Pregunta #2: En que lugar quedara México en la próxima IMO?

Pregunta #3: Si quedas en la selección cual seria tu tag más probable (MEX1, MEX2, etc.)

Pregunta #4: Que medallas crees que sacara MEX en la IMO (especifica, oros, platas, bronces y viajeros) 

Pregunta #5: Menciona 3 características que debe tener un olímpico (de cualquier país) para hacer el mejor papel posible en la IMO


Pregunta #6: Superheroe favorito

Pregunta #7: Cual crees que es la principal(es) razón(es) por la que alguien (de los seleccionados) no queda en la selección

Pregunta #8: Quienes 6 predices que irán?

Pregunta #9: Ya en Mayo, cuantas horas diarias crees que un seleccionado le debería dedicar para la IMO

Pregunta #10: Comida favorita

Pregunta #11: Que te han parecido los entrenamientos?

Pregunta #12: Que defecto tuyo tienes que combatir para lograr tu maximo en la IMO?

Pregunta #13: Cual tu opinión general de este grupo de seleccionados?

Pregunta #14: Escribe tu probabilidad de sacar Oro, Plata, Bronce o Viajero en la IMO (debe sumar 100%)

Pregunta #15: Porque crees que TU serias un buen candidato para representar a México en la IMO?

Pregunta #16: Y ya para finalizar, que palabras le dirías a tus compañeros para lograr lo mejor de lo que son capaces.

Problema del dia: Viernes

a) Sea $p$ un primo tal que $2p+1$ es primo, $p$ de la forma $4k+1$. Demuestra que $2$ es raiz primitiva modulo $2p+1$.
b) Sea $p$ primo. Determine el maximo grado de un polinomio $T(x)$ con coeficientes en $0,1,...,p-1$ y grado menor a $p$ que satisface $T(n)\equiv T(m) \mod{p}$ implica $m\equiv n \mod{p}$

Problema de ayer.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC=DE$,
$\angle BAC=\angle ABE= \angle AED-90^{\circ}$
y $\angle ADE=\angle ACB$.

Demuestra que $BCDE$ es un paralelogramo.

Problema del Día: Jueves 16 de Febrero de 2012

Hallar todas las funciones $h:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que

$h(x+y) + h(xy) = h(x)h(y) + 1$

para cualesquiera $x,y\in\mathbb{Z}$.

Nota: $\mathbb{Z}$ denota al conjunto de los números enteros.

Problema del dia

a) Sea $S(x)$ la suma de los digitos de $x$ en base decimal.Demuestre que para todo $p$ primo distinto de $2$ y $5$ la funcion $\frac{S(x)}{S(px)}$ no esta acotada para $x>0$.
b) Demuestre que $\frac{S(x)}{S(2x)}\le 5$ para todo $x>0$ y que esa cota no se puede mejorar.

Problema del día.

Demuestra que en cualquier triángulo, las rectas que unen el punto medio de cada lado con el punto medio de su altura correspondiente, se intersectan en el punto simediano del triángulo.

Problema del Día: Conjuntos de 3 con intersecciones pequeñas

Sea $X$ un conjunto con $n$ elementos y $S_1$, $S_2$, $\ldots$, $S_m$ subconjuntos de $X$, cada uno con $3$ elementos y tales que la intersección de cualesquiera dos tiene a lo más un elemento.

Muestra que existe un subconjunto $S$ de $X$ con al menos $\lfloor \sqrt{2n} \rfloor$ elementos tal que no contiene a ningún $S_i$ para $i=1,2,\ldots,m$.

Competencia de Invierno: Examen #3

Tiempo: 40 minutos !!!    Recuerden el código de honor !!!!!!

1- Las figuras , , , y  consisten de , , , y  cuadrados unitarios, respectivamente. Si continuamos el patrón, cuantos cuadrados unitarios tendrá la figura 100?

2- Un tablero de  renglones y  columnas tiene un numero escrito en cada cuadrado, empezando en la esquina superior izquierda, de tal forma que el primer renglon es , el segundo , y asi para abajo. Si el tablero es renumerado tal que la columna de la izquierda es (de arriba a abajo) , la segunda columna  y así sucesivamente. Algunos cuadrados tienen los mismos números en ambos casos. Encuentra la suma de estos números.

3- Si   son numeros positivos que satisfacen  and  encuentra el valor de .

4- A través de un punto en la hipotenusa de un triangulo rectangulo, se trazan lineas paralelas a los catetos del triangulo de tal forma que el triangulo queda dividido en un cuadrado y 2 triangulos rectangulos mas chicos. El area de uno de los triangulos chicos es  veces el area del cuadrado. Cual es la razon entre el area del otro triangulo chico y el area del cuadrado.

5- Si los arcos circulares  y  tienen centros en  y , respectivamente, entonces existe un circulo tangente a ambos  y , y a . Si la longitud de  es , entonces el perimetro del circulo es:

6- Ocho triángulos equilateros congruentes, cada uno de diferente color, son usados para construir un octaedro regular. Cuantas maneras distintas hay de construir el octaedro? (Dos octaedros coloreados se consideran distintos si ninguno de los 2 puede ser rotado para lucir como el otro.)

7- El producto de 3 enteros positivos consecutivos es 8 veces su suma. Cual es la suma de sus cuadrados?

8- Cuantos enteros diferentes pueden ser expresados como la suma de 3 números distintos del conjunto ?

9- Para cuantos enteros , es  el cuadrado de un entero?

10- La suma de  enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. Cual es el valor mas pequeño posible de esta suma?

11- Cuatro circulos distintos se dibujan en un plano. Cual es el máximo numero de puntos donde al menos 2 de los círculos se intersectan?

12- Si   son números reales positivos tales que   and , entonces el valor de  es:

13- Para todos los enteros positivos  menores que , sea

Calcular .

14- Un cuadrilátero convexo  con área  contiene un punto  en su interior tal que . Encontrar el perímetro de .

15- Enteros positivos   son escogidos tal que , y el sistema de ecuaciones

 

tiene exactamente una solución. Cual es el mínimo valor de ?