M-4

Dado un conjunto $S$ de puntos en el plano, diremos que una circunferencia es una 4-circunferencia si pasa por al menos cuatro puntos de $S$. ¿Cuál es la máxima cantidad de 4-circunferencias que puede determinar un conjunto $S$ de siete puntos?

N-4

Sea $P(x)\in \mathbb{Z}[x]$ tal que $P(0)=P(1)=1$. Para un entero dado $a$ definimos la sucesión $(x_n)$ por $x_1=a$ y $x_{n+1}=P(x_n)$. Demuestra que para cada entero positivo $n$ se cumple que $(x_n,n!)=1$.

G-4

Sean $M$ y $N$ puntos arbitrarios en los lados $AC$ y $BC$ del triángulo $ABC$, respectivamente, y $P$ un punto arbitrario en el segmento $MN$. Demuestra que al menos uno de los triángulos $AMP$ y $BNP$ tiene área menor o igual que $\frac{1}{8}$ del área del triángulo $ABC$.

C-4

Sean $n$ y $q$ enteros positivos. Un $(n,q)$ collar es un conjunto de $n$ puntos equiespaciados en una circunferencia, donde cada punto se ha coloreado con un color elegido entre $q$ posibles. Un $(n,q)$ collar es primo si no es posible dividirlo en arcos iguales entre sí (de longitud y coloración). Demuestra que la cantidad de $(n,q^n)$ collares primos es igual a $n$ veces el número de $(n^2,q)$ collares primos.

NOTA: Dos $(n,q)$ collares se consideran iguales si se puede obtener uno a partir del otro mediante una rotación.

A-4

Sean $a,b,c\in \mathbb{R}^+$. Demuestra que 

$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3.$

M-3

Sea $S_n$ la suma de los dígitos  de la expansión decimal de $2004^n$. Determina si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:

"Para cada $C>0$ existe $n_0$ tal que $S_n>C$ para todo $n\geq n_0.$

N3

Dados $p,q>1$ números enteros, se escribe un número en cada una de las casillas de un tablero rectangular de $p\times q$. Sea $a_{ij}$ el número en la fila $i$ y columna $j$. Se completa un nuevo tablero de la siguiente manera: Se escriben en sus casillas los mismos números, siguiendo el orden
$a_{11},a_{12},\dots , a_{1q},a_{21},a_{22},\dots , a_{2q},\dots ,a_{p1},a_{p2},...,a_{pq},$
pero por columnas, de arriba hacia abajo y comenzando por la primera de izquierda a derecha. Supongamos que inicialmente están los números 1,2,$\dots, pq$ escritos en ese orden, por filas, de izquierda a derecha, comenzando por la fila superior. Demuestra que después de aplicar una cantidad finita de estas operaciones, se regresa a un tablero como el original y determina la menor cantidad de operaciones necesarias para lograr esto.

G3

Un triángulo y un cuadrado están circunscritos a la misma circunferencia. Demuestra que al menos la mitad del perímetro del cuadrado está dentro del triángulo.

C3

Dado un entero $n\geq 2$, hallar todos los enteros $k\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: Es posible elegir $k$ enteros $a_1,a_2,\dots ,a_k$, todos de valor absoluto menor o igual que $n$ y tales que la suma de los $k$ números sea cero, pero si se suman algunos de ellos, no todos, la suma siempre es distinta de cero.

Álgebra 3

Ayer se me pasó poner el post para que comenten las soluciones. Si yo no lo pongo y alguien ya quiere publicar acerca de un problema, pongan ustedes mismos el post.

A3) Sea $P(x) \in \mathbb{Z} [x]$, de grado $n>0$ y con $n$ raíces reales en el intervalo $(0,1)$. Demuestra que le valor absoluto del coeficiente principal de $P(x)$ es mayor o igual que $2^n$.