Problema del día 31 de Septiembre

Dados dos enteros positivos $m$ y $n$, demuestra que existe un entero $c$ tal que cada dígito distinto de cero aparece la misma cantidad de veces en $cm$ y en $cn$.

Problema del día 28 de agosto.

Definimos un $k$-clan como un conjunto de $k$ personas tales que cuaesquiera dos personas se conocen entre s\'i. En una fiesta se cumple que cualesquiera dos $3$-clanes tienen al menos una persona en com\'un y no hay 5-clanes. Demuestra que se pueden escoger dos personas, de manera que si se saca a estas dos personas de la fiesta ya no quedan 3-clanes.

Problema del martes 25 de agosto (olvide)

Para cualquier numero $\alpha$ dado, encuentra todos los polinomios mónicos de grado a lo más 3 que conmutan con el polinomio $P(x)=x^2-\alpha$.

Problema del día 26 de agosto

Un entero positivo $N$ se dice balanceado si es igual a uno o si se puede expresar como el producto de una cantidad par de primos (no necesariamente distintos). Dados dos enteros positivos $a,b$ considera el polinomio $P(x)=(x+a)(x+b)$.

a) Demuestra que existen enteros $a,b$ tal que los enteros $P(1), P(2), \dots , P(2015)$ son balanceados.  
b) Demuestra que si $P(n)$ es balanceado para todo $n$ entoncces $a=b$.

Problema del día 24 de agosto

Leo y Niño juegan un juego por turnos. En una mesa se ponen $2014$ cartas en fila (en cualquier orden) con los números del 1 al $2014$ escritos en ellas (los números son visibles y no hay dos cartas con el mismo número). El jugador en turno decide si escoger la carta del extremo derecho o la carta del extremo izquierdo y removerla de la mesa. Cuando ya no hay más cartas en la mesa cada jugador suma los números de las cartas que agarró, el que sume más puntos gana. Demuestra que el jugador que comience puede garantizar la victoria.

Problema IGO

Problema. El triángulo $ABC$ cumple que $\angle C=\angle A+90^{\circ }$. Un punto $D$ sobre la prolongación de $BC$ es tal que $AC=AD$. Un punto $E$ que no está sobre la recta $BC$ y que no está del mismo lado que $A$ con respecto a $BC$, cumple que $\angle EBC=\angle A$ y $\angle EDC=\frac{1}{2}\angle A$. Muestre que $\angle CED=\angle ABC$.

Problema 1 de Algebra

Calcula la suma
$$\sum_{k=0}^{n} (-1) ^k k^n \binom{n}{k}.$$

Examen IGO

Problema 1. Dos puntos $X$ y $Y$ están sobre el arco $BC$ del
circuncírculo del triángulo $ABC$ (sobre el arco que no contiene a $A$) y son tales que $\angle BAX=\angle CAY$. Sea $M$ el punto medio de la
cuerda $AX$. Muestre que $BM+CM>AY$.

Problema 2. Un cuadrílátero convexo $ABCD$ cumple con $\angle B=\angle D=60^\circ$. Sean $M$ el punto medio de $AD$ y $P$ el punto de intersección de $BC$ con la paralela a $CD$ por $M\,$. Un punto $X$ sobre $CD$ es tal que $BX=CX$. Muestre que $AB=BP$ sí y sólo si $\angle MXB=60^{\circ }$.

Problema 3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, La circunferencia de diámetro $BC$ corta a $AB$ y $CD$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la intersección de
$AM$ y $EF$. Sea $X$ un punto en el arco $EF$ y $Y$ el segundo punto de intersección de $XP$ con la circunferencia. Muestre que $\angle XAY=\angle XYM$.

\Problema 4. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC>AB$. La tangente por $A$ al circuncírculo de $ABC$ corta a $BC$ en $P$. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$ y $X$ un punto sobre $OP$ con $\angle AXP=90^\circ$. Dos puntos $E$ y $F$ sobre $AB$ y $CA$, respectivamente y sobre el mismo lado de $OP$ son tales que

$$\angle EXP=\angle ACX\text{ y }\angle FXO=\angle ABX.$$

si $K$ y $L$ son las intersecciones de $EF$ con el circuncírculo del triángulo $ABC$, muestre que $OP$ es tangente al circuncírculo del triángulo $KLX$.

Problema 5. Dos puntos $P$ y $Q$ sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC,$ tienen la misma distancia al punto medio de $BC$. Las perpendiculares a $BC$ por $P$ y $Q$ intersectan a $CA$ y $AB$ en $E$ y $F$, respectivamente.

Sea $M$ el punto de intersección de $PF$ y $EQ$. Si $H_{1}$ y $H_{2}$ son los ortocentros de los triángulos $BFP$ y $CEQ$, respectiamente. Muestre que $AM$ y $H_{1}H_{2}$ son perpendiculares.

Sobre el examen del 22 de septiembre

Que tal chicos

Subiré el examen mañana temprano para que lo puedan intentar en el día, la hora la ponen ustedes pero deben dedicarse 4 horas y media.

Al final del día esperare las soluciones escaneadas a mi correo y en la semana les diremos como resultaron en esta simulación.

Saludos

Lalo

Problema entrenamiento IGO

Problema 3. Ana y Beto han dibujado cada uno un polígono inscrito de $93$ lados. Denotemos por $A_{1}A_{2}...A_{93}$ el de Ana y por $B_{1}B_{2},...,B_{93}$ el de Beto.

Se conoce que $A_{i}A_{i+1}\left\Vert B_{i}B_{i+1}\right. $ para $1\leq i\leq 93(A_{93}=A_{1}$ y $B_{93}=B_{1})$. Muestre que $\frac{A_{i}A_{i+1}}{B_{i}B_{i+1}}$ es constante, e independiente de $i$.

Sobre la dinámica del blog

Hola a todos,

Dado que varios han estado preguntado creí que sería buena idea poner un post sobre la dinámica que seguiremos en el blog.

De aquí hasta que sea la IGO tendrán un problema diario de geometría. Paralelo a eso les pondremos un problema diario de combi, números o álgebra, el cual será sencillo (más o menos como un cuatro de ibero) para que se puedan concentrar en geometría. Buscaremos que estos problemas alternos tengan el estilo ibero y sobre todo que rescaten trucos importantes, de esta manera les permitirá entrenar su velocidad y recordar o aprender mañas.
Este sábado tendrán una simulación de IGO, Lalo les puede dar más detalles al respecto.

Si ustedes tienen un problema, artículo, link, etc, que quieran compartir es totalmente bienvenido.
Creo que el blog es un buen medio para que los entrenemos a distancia, pero si se involucran en él compartiendo sus ideas se puede volver mucho más que eso. Por esta razón les recomiendo que de vez en cuando lean las soluciones de sus compañeros (independientemente de que hayan o no hayan resuelto el problema), que se animen a pedir y dar hints o postear ideas sobre cómo atacar un problema que aún no haya sido resuelto. Si alguien ya posteó una solución parecida a la suya basta con que digan qué cosas hicieron diferente, en caso de que sea igual solo digan que es la misma y en caso de que sea esencialmente distinta estaría muy bueno que también la compartieran.

Buenas noches

Problemas entrenamiento IGO

Que tal chicos, para empezar a entrenar para la IGO estaré subiendo problemas estos días y el sábado sera el examen. Inténtenlos y comenten sus soluciones u observaciones.

Problema 1. Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=90^\circ$ y $\angle C=30^{\circ }$. Denote por $\Gamma $ la circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a $BC$ en su punto medio. Suponga que $\Gamma $ corta a $AC$ y al circuncírculo de $ABC$ en $N$ y $M$, respectivamente. Muestre que $MN$ y $BC$ son perpendiculares.


Problema 2. El incírculo del triángulo $ABC$ toca a $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Denote a los pies de las perpendiculares desde $F$ y $E$ sobre $BC$ por $K$ y $L$, respectivamente. Los otros puntos de intersección de estas perpendiculares con el incírculo son $M$ y $N$, respectivamente. Muestre que

\[\frac{(\triangle BMD)}{(\triangle CND)}=\frac{DK}{DL}.\]

 Donde $(\triangle XYZ)$ denota el área del triángulo $XYZ$.

Problema del día 19 de agosto.

Sean $a_1 < a_2 < \dots < a_{2014}$ enteros positivos. Demuestra que

$$\sum_{i=1}^{2013} \frac{1}{MCM[{a_i,a_{i+1}}]} < \frac{1}{a_1},$$

donde $MCM[a,b]$ denota el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$.

Problema del día 18 de agosto.

Decimos que un subconjunto $S$ de $\{1,2,...,n\}$ es equilibrado si tiene la siguiente propiedad: Cada que $a$ y $b$ sean elementos de $S$ cuyo promedio sea un entero, dicho promedio también será un elemento de $S$.
Sea $A(n)$ el número de subconjutnos equilibrados de $\{1,2,...,n\}$.  Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $A(n+2)-2A(n+1)+A(n)=1$.

Ejemplo: Todos los subonjuntos de $\{1,2,3\}$ son equilibrados excepto el $\{1,3\}$, por lo tanto $A(3)=7$.

Problema del día 17 de agosto.

Sean $b,n>1$ enteros. Supongamos que para cada entero $k>1$ existe un entero $a_k$ tal que $k| b-a_k^n$. Demuestra que $b=A^n$ para algún entero $A$.

¡Hola a todos! Como ya les habían comentado a partir de hoy comenzaremos a usar el blog para entrenar. Solo para tener un control, por favor contesten este post con un saludo seguido de su nombre (esto para que identifique su usuario con su nombre).

Saludos y buen inicio de semana.