Solucion corta del Problema 5 de la centro

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Notacion sqrt[3]{x} es la raíz cúbica de x

Problema 5 de la Centro
Sean p, q, r números racionales distintos de cero tales que


sqrt[3]{pq^2} + sqrt[3]{qr^2}+sqrt[3]{rp^2}


es un número racional distinto de cero. Pruebe que

1 \ sqrt[3]{pq^2} + 1 \ sqrt[3]{qr^2} + 1 \ sqrt[3]{rp^2}

también es un número racional.


Solución. Sea a=sqrt[3]{pq^2}, b=sqrt[3]{qr^2} y c=sqrt[3]{rp^2}, luego las hipótesis del problema son: p, q, r y (a+b+c) son racionales, de donde debemos mostrar que

1\a+ 1\b+ 1\c es un número racional.


Usando mi identidad favorita

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(ab+bc+ca)(a+b+c)-3abc

observamos que entonces, podemos despegar ab+bc+ca para ver que es un número racional, pues es trivial ver que abc=pqr, por lo que también es racional.


Ahora simplemente observe que



1\a+ 1\b+ 1\c= (ab+bc+ca)\abc



lo cual concluye la demostración.


Edit: Por David para añadir el link al PDF