Hola a todos, mucho ánimo con los entrenamientos. Les dejo el siguiente problema:
Se comienza con cuatro triángulos rectángulos congruentes. En un paso, es permitido tomar uno de ellos y cortarlo por la altura a la hipotenusa, obteniendo así dos nuevos triángulos (y perdiendo el anterior).
Demuestra que sin importar que pasos hagas, siempre habrá dos triángulos congruentes.
domingo, 15 de agosto de 2010
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7 comentarios:
vemos que si partimos un triangulo y luego partimos los dos que nos quedan, nos quedan 4 triangulos, 2 de ellos congruentes.
De los 4 triangulos iniciales, si queremos que no haya dos congruentes, debemos de partir 3 de ellos, y de los 6 triangulos que nos den tres seran congruentes y los otros tres también, por lo tanto dos de cada tipo debemos de partirlos, de donde obtendremos 8 triangulos, 4 de ellos congruentes, y si nos fijamos ahora en esos cuatros podemos repetir el proceso anterior y nos damos cuenta que podemos hacerlo infinitamente son lograr que no haya dos congruentes.
Solucion.
Veamos que si en algun tiempo tenemos 4 triangulos congruentes (como al inicio), despues de algunos pasos necesarios volveremos a tener otros 4 triangulos congruentes. Sean $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ los 4 triangulos congruentes. Luego para que no existan 2 triangulos congruentes 3 de esos 4 triangulos se tienen que partir y formar 6 triangulos $B_{1},B_{2},B_{3},C_{1},C_{2},C_{3}$,tal que las $B_{i}$ son congruentes y las $C_{i}$ tambien. Luego como hay 2 grupos de 3 triangulos congruentes cada uno, entonces de cada grupo se tienen que partir 2 triangulos para que no existan 2 triangulos congruentes. Entonces spdg. se parten $B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ y obtenemos 8 triangulos $D_{1},D_{2},E_{1},E_{2},F_{1},F_{2},G_{1},G_{2}$, los $D$ y $E$ salen de los triangulos $B$ y los $F$ y $G$ salen de los triangulos $C$. Pero hay que darse cuenta que 2 de los obtenidos de los $B$ y 2 de los obtenidos de los $C$ son congruentes ya que forman un rectangulo al ir haciendo las particiones. Entonces obtenemos otros 4 triangulos congruentes y tenemos un paso anterior, y en cualquier momento hubo 2 triangulos congruentes. Por lo tanto siempre va a haber 2 triangulos congruentes. FIN.
Supongamos que si se puede lograr en un número finito de pasos, entonces al principio tenemos que partir al menos 3 de los triangulos originales, pero despues de esto nos quedan al menos 2 ternas de triangulos congruentes, entonces tenemos que partir al menos 2 triangulos de cada terna, pero es facil ver que nos van a quedar entonces al menos 4 triangulos congruentes todos entre si, entonces vamos a tener que aplicar este proceso a estos nuevos 4 triangulos congruentes y asi infinitamente.
Por lo tanto no es posible lograr que no haya no 2 triangulos congruentes en un número finito de pasos. Contradicción. FIN.
Si he pensado en el problema. encontré una forma padre de reformularlo, pero no me ha salido...
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