domingo, 15 de agosto de 2010

Triángulos rectángulos congruentes

Hola a todos, mucho ánimo con los entrenamientos. Les dejo el siguiente problema:

Se comienza con cuatro triángulos rectángulos congruentes. En un paso, es permitido tomar uno de ellos y cortarlo por la altura a la hipotenusa, obteniendo así dos nuevos triángulos (y perdiendo el anterior).

Demuestra que sin importar que pasos hagas, siempre habrá dos triángulos congruentes.

7 comentarios:

DANIELIMO dijo...

vemos que si partimos un triangulo y luego partimos los dos que nos quedan, nos quedan 4 triangulos, 2 de ellos congruentes.
De los 4 triangulos iniciales, si queremos que no haya dos congruentes, debemos de partir 3 de ellos, y de los 6 triangulos que nos den tres seran congruentes y los otros tres también, por lo tanto dos de cada tipo debemos de partirlos, de donde obtendremos 8 triangulos, 4 de ellos congruentes, y si nos fijamos ahora en esos cuatros podemos repetir el proceso anterior y nos damos cuenta que podemos hacerlo infinitamente son lograr que no haya dos congruentes.

Manuel Dosal dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Manuel Dosal dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Manuel Dosal dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
Manuel Dosal dijo...

Solucion.
Veamos que si en algun tiempo tenemos 4 triangulos congruentes (como al inicio), despues de algunos pasos necesarios volveremos a tener otros 4 triangulos congruentes. Sean $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ los 4 triangulos congruentes. Luego para que no existan 2 triangulos congruentes 3 de esos 4 triangulos se tienen que partir y formar 6 triangulos $B_{1},B_{2},B_{3},C_{1},C_{2},C_{3}$,tal que las $B_{i}$ son congruentes y las $C_{i}$ tambien. Luego como hay 2 grupos de 3 triangulos congruentes cada uno, entonces de cada grupo se tienen que partir 2 triangulos para que no existan 2 triangulos congruentes. Entonces spdg. se parten $B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ y obtenemos 8 triangulos $D_{1},D_{2},E_{1},E_{2},F_{1},F_{2},G_{1},G_{2}$, los $D$ y $E$ salen de los triangulos $B$ y los $F$ y $G$ salen de los triangulos $C$. Pero hay que darse cuenta que 2 de los obtenidos de los $B$ y 2 de los obtenidos de los $C$ son congruentes ya que forman un rectangulo al ir haciendo las particiones. Entonces obtenemos otros 4 triangulos congruentes y tenemos un paso anterior, y en cualquier momento hubo 2 triangulos congruentes. Por lo tanto siempre va a haber 2 triangulos congruentes. FIN.

Georges dijo...

Supongamos que si se puede lograr en un número finito de pasos, entonces al principio tenemos que partir al menos 3 de los triangulos originales, pero despues de esto nos quedan al menos 2 ternas de triangulos congruentes, entonces tenemos que partir al menos 2 triangulos de cada terna, pero es facil ver que nos van a quedar entonces al menos 4 triangulos congruentes todos entre si, entonces vamos a tener que aplicar este proceso a estos nuevos 4 triangulos congruentes y asi infinitamente.
Por lo tanto no es posible lograr que no haya no 2 triangulos congruentes en un número finito de pasos. Contradicción. FIN.

Unknown dijo...

Si he pensado en el problema. encontré una forma padre de reformularlo, pero no me ha salido...

Publicar un comentario