Solución 9 de septiembre

Sean $S$ y $T$ las intersecciones de $BP$ y $PC$ con $HQ$ y $HR$, respectivamente. Sean $F$ y $G$ las proyecciones de $A$ sobre $CP$ y $BP$, respectivamente. El triángulo $BPC$ es rectángulo porque $MB=MP=MC$. Luego no es difícil ver que

\[\angle BCP=\angle CPM=\angle HPB=\angle BHS= \angle STH=\alpha\]

Lo que pide el problema es equivalente a demostrar que $\angle HRQ= \angle HTS=\alpha$, osea que $ST$ y $QR$ son paralelas. Notemos que $QH$ y $PC$ son paralelas por ser perpendiculares a $BP$. Analogamente $BP$ y $HR$ son paralelas. Ahora nos fijamos en el triángulo BPC y usando semejanzas que obtenemos de las paralelas hacemos:

\[\frac{BS}{CT}=\frac{\frac{BP\cdot SH}{CP}}{CT}=\frac{BP}{CP}\cdot \frac{PT}{CT}=\frac{BP}{CP}\cdot \frac{HT^2}{CT^2}=\frac{BP^3}{CP^3}\]

Por otra parte es fácil ver que AFPG es rectángulo porque es paralelogramo y tiene ángulos rectos, también $\angle APF= \angle CPM=\alpha$ y entonces los triángulos $AFP$ y $BPC$ son semejantes. Luego

\[\frac{AF}{AG}=\frac{AF}{FP}=\frac{BP}{CP}\]

Como los triángulos $FPG$ y $CPB$ también son semejantes se tiene

\[\frac{BG}{CF}=\frac{BP}{CP}\]

Finalmente usando que $QS$ es paralela a $AG$ y $TR$ es paralela a $AF$ se tiene

\[\frac{QS}{TR}=\frac{\frac{AG\cdot BS}{BG}}{\frac{CT\cdot AF}{CF}}=\frac{BS}{CT}\cdot \frac{AG}{AF}\cdot \frac{CF}{BG}=\frac{BP}{CP}=\frac{HS}{HT}\]

Esto implica que $QR$ y $ST$ son paralelas,, como queríamos.