Los últimos 2 exámenes (exámenes #7 y #8) que definirán al campeón de Invierno serán:
Examen #7 (1 hora): Lunes 14 de Marzo de 2011, 9PM
Examen #8 (1 hora): Lunes 21 de Marzo de 2011, 9PM
Panda
lunes, 28 de febrero de 2011
jueves, 24 de febrero de 2011
Problem del Día - 25 de febrero
Demuestra que existe sólo una pareja de enteros positivos $a$ y $n$ tal que
$$a^{n+1} -(a+1)^n = 2001. $$
$$a^{n+1} -(a+1)^n = 2001. $$
miércoles, 23 de febrero de 2011
Problema del dia: jueves 24 de febrero - ALGEBRA
Sean $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_{2^{k+1}}$ numeros reales positivos tales que para
cada $i$, $i < a_i \leq i+1$. Considera para cada $i$, la caja de base cuadrada de
$1 \times 1$ y de altura $\frac{1}{a_i}$.
Muestra que con estas $2^{k+1}$ cajas es
posible llenar al menos $k+1$ cajas rectangulares de base $1 \times 1$ y altura
$\frac{1}{2}$.
Muestra que con las $2^{k+1}$ cajas no es posible llenar $k+1$ cubos de lado $1$.
cada $i$, $i < a_i \leq i+1$. Considera para cada $i$, la caja de base cuadrada de
$1 \times 1$ y de altura $\frac{1}{a_i}$.
Muestra que con estas $2^{k+1}$ cajas es
posible llenar al menos $k+1$ cajas rectangulares de base $1 \times 1$ y altura
$\frac{1}{2}$.
Muestra que con las $2^{k+1}$ cajas no es posible llenar $k+1$ cubos de lado $1$.
Tercer entrenamiento CIMAT
Hola a Todos
El tercer entrenamiento para los ganadores de la olimpiada pasada, se llevará a
cabo del 3 al 13 de marzo del 2011 en el CIMAT, en Guanajuato, Gto.
Los 12 invitados estan en un post anterior.
En este entrenamiento se aplicará el examen de la olimpiada de la Cuenca del Pacifico
el 7 de marzo.
Los entrenamientos serán en el CIMAT (Centro de investigación en Matématicas).
Se hospedarán en el CIMATEL, es como el hotel del CIMAT. El CIMATEL está ubicado
frente a la plaza de la valenciana, al otro lado de la plaza esta la catedral de Valenciana,
esto es suficiente para que cualquier taxista sepa llegar. Desde la central de autobuses
cobran como 50 pesos, del aeropuerto, el cual esta bastante retirado, cobran mas de
300 pesos los taxis.
El telefono del CIMATEL es el 473 7320258.
Le doy tambien el telefono de Marco Figueroa (niño), el estará a cargo de organizar
el entrenamiento en Gto, celular 4731228503
La llegada al hotel es el 3 de marzo a lo largo del dia y la salida es el 13 de marzo a
mediodia.
El entrenamiento empieza a las 9:00 am el 4 de marzo.
Por favor les pedimos que nos confirmen su asistencia asi como su dia de llegada lo mas
pronto posible, ya saben la mecanica. Insisto aqui pues en Colima Martin se enojo pues
varios de ustedes me dijeron que llegaban un dia y llegaron hasta el siguiente dia, lo cual
parece no importarles pero le cuesta dinero a la olimpiada.
Confirmen en este post
Sin mas por el momento, los esperamos en Gto.
Saludos
Rogelio
Marco
El tercer entrenamiento para los ganadores de la olimpiada pasada, se llevará a
cabo del 3 al 13 de marzo del 2011 en el CIMAT, en Guanajuato, Gto.
Los 12 invitados estan en un post anterior.
En este entrenamiento se aplicará el examen de la olimpiada de la Cuenca del Pacifico
el 7 de marzo.
Los entrenamientos serán en el CIMAT (Centro de investigación en Matématicas).
Se hospedarán en el CIMATEL, es como el hotel del CIMAT. El CIMATEL está ubicado
frente a la plaza de la valenciana, al otro lado de la plaza esta la catedral de Valenciana,
esto es suficiente para que cualquier taxista sepa llegar. Desde la central de autobuses
cobran como 50 pesos, del aeropuerto, el cual esta bastante retirado, cobran mas de
300 pesos los taxis.
El telefono del CIMATEL es el 473 7320258.
Le doy tambien el telefono de Marco Figueroa (niño), el estará a cargo de organizar
el entrenamiento en Gto, celular 4731228503
La llegada al hotel es el 3 de marzo a lo largo del dia y la salida es el 13 de marzo a
mediodia.
El entrenamiento empieza a las 9:00 am el 4 de marzo.
Por favor les pedimos que nos confirmen su asistencia asi como su dia de llegada lo mas
pronto posible, ya saben la mecanica. Insisto aqui pues en Colima Martin se enojo pues
varios de ustedes me dijeron que llegaban un dia y llegaron hasta el siguiente dia, lo cual
parece no importarles pero le cuesta dinero a la olimpiada.
Confirmen en este post
Sin mas por el momento, los esperamos en Gto.
Saludos
Rogelio
Marco
Problema del Día: Vasos que se llenan
Les dejo el problema del día.
Se tienen $n$ vasos que aguantan una cantidad suficiente de agua. Al inicio todos tienen la misma cantidad de agua. En un paso puedes vaciar de un vaso $A$ a un vaso $B$ la cantidad de agua que tiene el vaso $B$ (siempre y cuando el vaso $A$ tenga agua suficiente). ¿Para qué valores de $n$ es posible conseguir un vaso con toda el agua?
Se tienen $n$ vasos que aguantan una cantidad suficiente de agua. Al inicio todos tienen la misma cantidad de agua. En un paso puedes vaciar de un vaso $A$ a un vaso $B$ la cantidad de agua que tiene el vaso $B$ (siempre y cuando el vaso $A$ tenga agua suficiente). ¿Para qué valores de $n$ es posible conseguir un vaso con toda el agua?
martes, 22 de febrero de 2011
Problema del día, 22 de febrero (Geometría)
Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=CA$. Si $B_1$ y $C_1$ son puntos sobre la recta $BC$ tales que $BC=B_1C_1$ y $P$, $Q$ las intersecciones del circuncírculo de $ABC$ con $AB_1$ y $AC_1$ respectivamente, demuestra que $PQ$ pasa por el punto medio de $BC_1$.
lunes, 21 de febrero de 2011
Competencia de Invierno (Examen # 6, 30 minutos)
1) Tres de los vértices de un cubo son los puntos $P=(7,12,10)$, $Q=(8,8,1)$ y $R=(11,3,9)$. ¿Cuál es el área de la superficie del cubo?
2) Encuentra el mínimo entero positivo $k$ tal que 200 divide a la suma de los primeros k cuadrados perfectos
3) Sea $ABC$ un triángulo cuyo inradio mide 10. Se trazan líneas paralelas a los lados del triángulo que sean tangentes al incírculo de $ABC$. Cada una de estas rectas y los lados del triángulo no paralelos a ella determinan un triángulo. Si sabemos que uno de estos triángulos tiene inradio 3 y otro inradio 4, determina el inradio del tercer triángulo.
4) Considera la sucesión definida por $a_{k}= \frac{1}{k^2+k}$. Dado que a_{m} + a_{m+1} + … + a_{n-1} = 1/29 para enteros positivos $m,n$ con $m$ menor que $n$, encuentra $m+n$.
5) ¿Cuántos enteros positivos menores que 10000 tienen a lo más dos dígitos distintos?
6) Sea S={1,2,…,10}. Determina el número de conjuntos formados por dos subconjuntos ajenos (con intersección vacía) y no vacíos de $S$.
7) Encontrar la parte entera de (1\sqrt{2})+(1\sqrt{3})+...+(1\sqrt{10000}). donde sqrt{n} es la raíz cuadrada de n-
8) El polinomio $P(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx$ tiene 5 raíces reales distintas. De los coeficientes $a,b,c,d$, ¿cuál no puede ser raíz de $P(x)$?
9) ¿De cuántas formas se puede expresar al 2011 como suma de algunos enteros positivos donde el orden sí importa?
10) Sea $ABCD$ un trapezoide con lados paralelos $DA$ y $BC$. Sean $M,N$ puntos sobre los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $MN$ es paralelo a $DA$ y $(DAMN)=(BCNM)$. Si $AD=1$ y $BC=7$, encuentra la longitud de $MN$.
2) Encuentra el mínimo entero positivo $k$ tal que 200 divide a la suma de los primeros k cuadrados perfectos
3) Sea $ABC$ un triángulo cuyo inradio mide 10. Se trazan líneas paralelas a los lados del triángulo que sean tangentes al incírculo de $ABC$. Cada una de estas rectas y los lados del triángulo no paralelos a ella determinan un triángulo. Si sabemos que uno de estos triángulos tiene inradio 3 y otro inradio 4, determina el inradio del tercer triángulo.
4) Considera la sucesión definida por $a_{k}= \frac{1}{k^2+k}$. Dado que a_{m} + a_{m+1} + … + a_{n-1} = 1/29 para enteros positivos $m,n$ con $m$ menor que $n$, encuentra $m+n$.
5) ¿Cuántos enteros positivos menores que 10000 tienen a lo más dos dígitos distintos?
6) Sea S={1,2,…,10}. Determina el número de conjuntos formados por dos subconjuntos ajenos (con intersección vacía) y no vacíos de $S$.
7) Encontrar la parte entera de (1\sqrt{2})+(1\sqrt{3})+...+(1\sqrt{10000}). donde sqrt{n} es la raíz cuadrada de n-
8) El polinomio $P(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx$ tiene 5 raíces reales distintas. De los coeficientes $a,b,c,d$, ¿cuál no puede ser raíz de $P(x)$?
9) ¿De cuántas formas se puede expresar al 2011 como suma de algunos enteros positivos donde el orden sí importa?
10) Sea $ABCD$ un trapezoide con lados paralelos $DA$ y $BC$. Sean $M,N$ puntos sobre los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $MN$ es paralelo a $DA$ y $(DAMN)=(BCNM)$. Si $AD=1$ y $BC=7$, encuentra la longitud de $MN$.
viernes, 18 de febrero de 2011
Cortes
Los 12 primeros lugares que seran invitados al entrenamiento en Gto son:
Daniel, Flavio, Diego, Georges, Jorge Garza, Enrique, Jorge Ignacio, Jose Ramon, Nain,
Manuel Alejandro, Fernando Josafath, Maria.
Los 5 centros
Juan Carlos, Adan, Enrique, Joshua, Angel Adrian
Daniel, Flavio, Diego, Georges, Jorge Garza, Enrique, Jorge Ignacio, Jose Ramon, Nain,
Manuel Alejandro, Fernando Josafath, Maria.
Los 5 centros
Juan Carlos, Adan, Enrique, Joshua, Angel Adrian
APMO
Muy posiblemente se les aplique la APMO (Asian Pacific Mathematics Olympiad) en el entrenamiento de Marzo, para que vayan practicando problemas del estilo.
Para los que no la han hecho, la APMO, a diferencia de la IMO consiste en cinco problemas y sólo 4 horas para resolverlos. Es una olimpiada internacional, pero se participa desde México.
¡Saludos del niño!
Para los que no la han hecho, la APMO, a diferencia de la IMO consiste en cinco problemas y sólo 4 horas para resolverlos. Es una olimpiada internacional, pero se participa desde México.
¡Saludos del niño!
Problema del día, 17 de febrero (álgebra)
Perdón. Se me pasó subir el problema ayer.
P. Sin usar el Teorema de Fermat, demuestra que $x^n+(x+2)^n+(2-x)^n=0$ no tiene solución en los enteros.
P. Sin usar el Teorema de Fermat, demuestra que $x^n+(x+2)^n+(2-x)^n=0$ no tiene solución en los enteros.
miércoles, 16 de febrero de 2011
Problema del Día: Caballo Generalizado
Hola a Todos. ¡Feliz día de San Valentín!
Les dejo un pequeño problema. Consideren un tablero de ajedrez infinitamente grande hacia todas las direcciones y un caballo generalizado de ajedrez que puede, en un sólo movimiento, brincar $p$ cuadrados en una dirección y $q$ cuadrados en otra (una es horizontal y la otra vertical), con $p$ y $q$ mayores a cero. Muestren que este caballo puede regresar a su posición inicial sólo tras un número par de pasos.
Les dejo un pequeño problema. Consideren un tablero de ajedrez infinitamente grande hacia todas las direcciones y un caballo generalizado de ajedrez que puede, en un sólo movimiento, brincar $p$ cuadrados en una dirección y $q$ cuadrados en otra (una es horizontal y la otra vertical), con $p$ y $q$ mayores a cero. Muestren que este caballo puede regresar a su posición inicial sólo tras un número par de pasos.
martes, 15 de febrero de 2011
Problema del Día: 15 de Febrero de 2011
Sea $l$ una recta que pasa por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC$. Sean $l_a,l_b,l_c$ las reflexiones de $l$ con respecto a las rectas $BC,CA,AB$, respectivamente. Pruebe que $l_a,l_b,l_c$ son concurrentes.
lunes, 14 de febrero de 2011
Aviso
El dia de ahora lunes 14 de Febrero no habrá Competencia de Invierno. Feliz día de San Valentin !!
sábado, 12 de febrero de 2011
Lounge Olímpico 2: Sábado 12 de Febrero de 2011, la olimpiada y las matematicas
Este es el seguno tema del lounge olimpico de este dia, ya lo habia pensado hace varias semanas pero no habia tenido tiempo de escribirlo.
Uno de los propositos de la olimpiada de matematicas es hacer que gente joven como ustedes
se acerquen y conozcan mas acerca de las matematicas, no las que enseñan en la secundaria o en la prepa sino las que muchos de nosotros hemos escogido como modo de vida.
Ciertamente esto ha sido un exito pues una buena cantidad de alumnos que participan en la olimpiada, al terminar la preparatoria empiezan alguna carrera profesional relacionada directamente con las matematicas, y no solo estoy hablando de los que quedan en primer lugar, de hecho conozco varias personas que tan solo en participar a nivel estatal ya adquieren o encuentran el gusto por las matematicas.
Entre los primeros lugares ha habido algunos estudiantes que desde que estan en la olimpiada
ya saben que estudiaran matematicas, algunos ejemplos podrian ser Omar Antolin, Pablo, Aldo entre otros y yo creo que por ejemplo Diego estudiara matematicas.
Mis preguntas entonces para ustedes son, ¿los estudiantes que participan en la olimpiada y que
ya saben que estudiaran matematicas tienen ventajas sobre los otros?, ¿ estaran mas motivados, pues un buen resultado en la olimpiada les puede abrir las puertas en la universidad que quieran, y no solo hablo de la licenciatura sino tambien de un posible posgrado?
¿cuales pueden ser las motivaciones extras de un alumno que sabe que no estudiara matematicas, aparte de las obvias?
Me seria muy interesante saber lo que piensan
Uno de los propositos de la olimpiada de matematicas es hacer que gente joven como ustedes
se acerquen y conozcan mas acerca de las matematicas, no las que enseñan en la secundaria o en la prepa sino las que muchos de nosotros hemos escogido como modo de vida.
Ciertamente esto ha sido un exito pues una buena cantidad de alumnos que participan en la olimpiada, al terminar la preparatoria empiezan alguna carrera profesional relacionada directamente con las matematicas, y no solo estoy hablando de los que quedan en primer lugar, de hecho conozco varias personas que tan solo en participar a nivel estatal ya adquieren o encuentran el gusto por las matematicas.
Entre los primeros lugares ha habido algunos estudiantes que desde que estan en la olimpiada
ya saben que estudiaran matematicas, algunos ejemplos podrian ser Omar Antolin, Pablo, Aldo entre otros y yo creo que por ejemplo Diego estudiara matematicas.
Mis preguntas entonces para ustedes son, ¿los estudiantes que participan en la olimpiada y que
ya saben que estudiaran matematicas tienen ventajas sobre los otros?, ¿ estaran mas motivados, pues un buen resultado en la olimpiada les puede abrir las puertas en la universidad que quieran, y no solo hablo de la licenciatura sino tambien de un posible posgrado?
¿cuales pueden ser las motivaciones extras de un alumno que sabe que no estudiara matematicas, aparte de las obvias?
Me seria muy interesante saber lo que piensan
Lounge Olímpico: Sábado 12 de Febrero de 2011, el disfrute de la vida.
En nuestra vida cotidiana, todos tenemos muchas actividades, un conjunto de ellas las hacemos por inercia, otras las hacemos porque sentimos una obligación pero no las disfrutamos tanto y otras mas las hacemos porque nos gustan y aun hay algunas mas que no solo nos gustan sino nos apasionan.
Sin contar a la Olimpiada, de las actividades que haces en tu vida actual, cuales de ellas sientes que las haces por obligación/inercia, cuales realmente disfrutas y te apasionan?
Sin contar a la Olimpiada, de las actividades que haces en tu vida actual, cuales de ellas sientes que las haces por obligación/inercia, cuales realmente disfrutas y te apasionan?
viernes, 11 de febrero de 2011
Problema del Día 11 de febrero (teoría de números)
Demuestra que para todo entero positivo $n$:
$$n! = \prod_{i=1}^n mcm\{1,2,\ldots,\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\}.$$
Donde $mcm$ es el mínimo común múltiplo y $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero $\leq x$.
$$n! = \prod_{i=1}^n mcm\{1,2,\ldots,\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\}.$$
Donde $mcm$ es el mínimo común múltiplo y $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero $\leq x$.
jueves, 10 de febrero de 2011
Problema del dia: jueves 10 de febrero - ALG
Muestra que para cada $n = 2^k$ , es posible colocar los numeros $1, 2, . . . , n^2$ en un tablero de $n \times n$ de tal manera que la media aritm etica de cualesquiera de dos de los numeros colocados no esta en el mınimo rect angulo determinado por los dos numeros. Esto es, la media aritm etica de los numeros $a_{ij}$ y $a_{kl}$
no es una entrada de la forma $a_{rs}$ donde
$$min(i, k) \leq r \leq max(i, k), min(j, l) \leq s \leq max(j, l)$$
no es una entrada de la forma $a_{rs}$ donde
$$min(i, k) \leq r \leq max(i, k), min(j, l) \leq s \leq max(j, l)$$
miércoles, 9 de febrero de 2011
Problema del día: Sucesiones superaditivas, corregido
Una sucesión no decreciente de números enteros no negativos $\{s_n\}$ se llama superaditiva si $s_{i+j}\geq s_i+s_j$ para cualesquiera enteros no negativos $i$ y $j$. Supongamos que $\{s_n\}$ y $\{t_n\}$ son sucesiones superaditivas. Consideremos la sucesión $\{u_n\}$ no decreciente tal que cada entero aparece tantas veces en ella como en $\{s_n\}$ y $\{t_n\}$ combinadas (por ejemplo, si hay cinco $3$ en las $s_n$ y cuatro en las $t_n$ entonces en las $u_n$ hay nueve).
Muestra que $\{u_n\}$ también es superaditiva.
Muestra que $\{u_n\}$ también es superaditiva.
martes, 8 de febrero de 2011
Problema del día - 8 de febrero 2011 (geometría)
Este es uno de mis problemas favoritos, apareció en un selectivo para la IMO hace mucho tiempo pero no sé dónde surgió originalmente. Espero que no muchos lo conozcan.
Tienes una copa y un lápiz, con ellos puedes dibujar un círculo usando el borde de la copa (el círculo que queda es del mismo tamaño que el borde de la copa). En una hoja de papel está dibujado un círculo del mismo tamaño que el borde de la copa y un punto $P$ en este círculo. Es posible encontrar el punto diametralmente opuesto a $P$ usando únicamente la copa y el lápiz?
Notas:
Usar únicamente la copa y el lápiz significa que dados dos puntos puedes trazar cualquiera de los dos círculos que pasan por esos dos puntos y que tienen el mismo diámetro que el borde de la copa.
No se vale hacer trampa (romper la copa, marcar la copa, usar otros objetos, dibujar un círculo tangente a otro dado por un punto sin conocer otro punto por el que pase, usar una cantidad infinita de pasos, etc.)
Tienes una copa y un lápiz, con ellos puedes dibujar un círculo usando el borde de la copa (el círculo que queda es del mismo tamaño que el borde de la copa). En una hoja de papel está dibujado un círculo del mismo tamaño que el borde de la copa y un punto $P$ en este círculo. Es posible encontrar el punto diametralmente opuesto a $P$ usando únicamente la copa y el lápiz?
Notas:
Usar únicamente la copa y el lápiz significa que dados dos puntos puedes trazar cualquiera de los dos círculos que pasan por esos dos puntos y que tienen el mismo diámetro que el borde de la copa.
No se vale hacer trampa (romper la copa, marcar la copa, usar otros objetos, dibujar un círculo tangente a otro dado por un punto sin conocer otro punto por el que pase, usar una cantidad infinita de pasos, etc.)
lunes, 7 de febrero de 2011
Competencia de Invierno: Examen #5 (30 minutos)
Recuerden el Codigo de Honor !!!!!!!!!!!
P1 - Sea
un punto interior del triangulo 
, extendemos lineas de los vértices a través de a los lados opuestos. Sea 
, 
, 
, 
las longitudes de los segmentos indicados en la figura. Encuentra el producto 
si 
y 
.
P1 - Sea
un punto interior del triangulo , extendemos lineas de los vértices a través de a los lados opuestos. Sea , , , las longitudes de los segmentos indicados en la figura. Encuentra el producto si y .
. Encuentra el mayor entero positivo 
para el cual 
puede ser expresado como el producto de 
enteos positivos consecutivos.P3- Un triangulo tiene vertices 
, 
, y 
. La ecuacion de la bisectriz de 
puede ser escrita en la forma 
. Encuentra 
.
, , y . La ecuacion de la bisectriz de puede ser escrita en la forma . Encuentra .P4- La función 
, definida en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, satisface las siguientes propiedades:
, definida en el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, satisface las siguientes propiedades:
Calcula 
.P5- La secuencia creciente 
consiste de todos los enteros positivos que no son ni el cuadrado ni el cubo de un entero positivo. Encuentra el termino 500th de la sucesion.
consiste de todos los enteros positivos que no son ni el cuadrado ni el cubo de un entero positivo. Encuentra el termino 500th de la sucesion.P6- Sea 
para 
. Ademas sea 
para . Ademas sea 
P7- La funcion f esta definida en el conjunto de los enteros y satisface 
Encontrar 
.
.Competencia de Invierno...?
Hola, quisiera saber si hoy habrá competencia de invierno a las 9:00 P. M.
domingo, 6 de febrero de 2011
Último Día
Hola a Todos:
Les recuerdo que hoy es el último día para que publiquen soluciones de los problemas que les faltan, de esta semana y de la anterior, cuando fueron los entrenamientos.
También los invito a que comenten en el lounge del día de ayer, ya que nadie ha comentado nada, al igual que en el problema del 25 de enero, en el que nadie comentó una sola palabra.
Saludos a todos, y manténganse activos como siempre.
Chino
Les recuerdo que hoy es el último día para que publiquen soluciones de los problemas que les faltan, de esta semana y de la anterior, cuando fueron los entrenamientos.
También los invito a que comenten en el lounge del día de ayer, ya que nadie ha comentado nada, al igual que en el problema del 25 de enero, en el que nadie comentó una sola palabra.
Saludos a todos, y manténganse activos como siempre.
Chino
sábado, 5 de febrero de 2011
Lounge Olímpico: Sábado 5 de Febrero de 2011
Háblanos un poco de lo que piensas sobre los siguientes conceptos:
a) La sociedad en la que vives
b) Los amigos que tienes en el presente
c) Tu familia
d) La vida
se los pregunto porque estoy seguro que no solo son capaces de profundizar en temas matemáticos, sino que pueden tener profundidad de pensamiento en muchos otros temas
Un saludo desde Las Vegas
Panda
a) La sociedad en la que vives
b) Los amigos que tienes en el presente
c) Tu familia
d) La vida
se los pregunto porque estoy seguro que no solo son capaces de profundizar en temas matemáticos, sino que pueden tener profundidad de pensamiento en muchos otros temas
Un saludo desde Las Vegas
Panda
viernes, 4 de febrero de 2011
Problema del Día - 4 de febrero 2011 (teoría de números)
Sea $S$ un conjunto de números racionales tal que se cumplen las siguientes 3 cosas:
1) $0 \in S$
2) Si $x\in S$, entonces $x+1\in S$ y $x-1\in S$.
3) Si $x\in S$ y $x\not\in\{0,1\}$ entonces $\frac{1}{x(x-1)}\in S$.
Estará $S$ forzado a contener a todos los racionales.
1) $0 \in S$
2) Si $x\in S$, entonces $x+1\in S$ y $x-1\in S$.
3) Si $x\in S$ y $x\not\in\{0,1\}$ entonces $\frac{1}{x(x-1)}\in S$.
Estará $S$ forzado a contener a todos los racionales.
jueves, 3 de febrero de 2011
Problema del día: 3 de febrero (álgebra)
Encuentra todos los polinomios $P$ en dos variables con las siguientes propiedades:
\noindent Para un entero positivo $n$ y todos $x$, $y$, $t$ reales se tene que $P(tx,ty)=t^nP(x,y)$.
\noindent Para todos los reales $a$, $b$, $c$, $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0$.
\noindent $P(1,0)=1$.
\noindent Para un entero positivo $n$ y todos $x$, $y$, $t$ reales se tene que $P(tx,ty)=t^nP(x,y)$.
\noindent Para todos los reales $a$, $b$, $c$, $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0$.
\noindent $P(1,0)=1$.
miércoles, 2 de febrero de 2011
Competencia de Invierno; Examen 2 de Feb (30 minutos)
1- Dada la sucesión
cuyo enésimo termino es
. Cual es el promedio de los primeros 
términos de la sucesión?
cuyo enésimo termino es
. Cual es el promedio de los primeros términos de la sucesión?2- El numero de dígitos de 
(escrito en su forma decimal) es:
(escrito en su forma decimal) es:3- La funcion 
satisface 
para todos los números reales x. Si la ecuación 
tiene exactamente 4 raíces reales distintas, entonces la suma de esas raíces es:
satisface para todos los números reales x. Si la ecuación tiene exactamente 4 raíces reales distintas, entonces la suma de esas raíces es:4- Un triangulo rectángulo con hipotenusa 
tiene lado 
. La altura 
divide en los segmentos 
y 
, con 
. El área del 
es:
con hipotenusa tiene lado . La altura divide en los segmentos y , con . El área del es:5- Una caja contiene 11 bolas, numeradas 1,2,3,....,11. Si 6 bolas son sacadas simultáneamente al azar, cual es la probabilidad de que la suma de los números en las bolas sacadas sea impar?
6- Cuantos enteros de 4 dígitos diferentes hay entre 
and 
tal que el valor absoluto de la diferencia entre el primero y el ultimo dígito es 
?
and tal que el valor absoluto de la diferencia entre el primero y el ultimo dígito es ?7- En una sucesión geométrica de números reales, la suma de los primeros 2 términos es 7, y la suma de los primeros 6 términos es 91. La suma de los primeros 4 términos es :
8- El numero de soluciones reales de la ecuación
es:
es:
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