1) Tres de los vértices de un cubo son los puntos $P=(7,12,10)$, $Q=(8,8,1)$ y $R=(11,3,9)$. ¿Cuál es el área de la superficie del cubo?
2) Encuentra el mínimo entero positivo $k$ tal que 200 divide a la suma de los primeros k cuadrados perfectos
3) Sea $ABC$ un triángulo cuyo inradio mide 10. Se trazan líneas paralelas a los lados del triángulo que sean tangentes al incírculo de $ABC$. Cada una de estas rectas y los lados del triángulo no paralelos a ella determinan un triángulo. Si sabemos que uno de estos triángulos tiene inradio 3 y otro inradio 4, determina el inradio del tercer triángulo.
4) Considera la sucesión definida por $a_{k}= \frac{1}{k^2+k}$. Dado que a_{m} + a_{m+1} + … + a_{n-1} = 1/29 para enteros positivos $m,n$ con $m$ menor que $n$, encuentra $m+n$.
5) ¿Cuántos enteros positivos menores que 10000 tienen a lo más dos dígitos distintos?
6) Sea S={1,2,…,10}. Determina el número de conjuntos formados por dos subconjuntos ajenos (con intersección vacía) y no vacíos de $S$.
7) Encontrar la parte entera de (1\sqrt{2})+(1\sqrt{3})+...+(1\sqrt{10000}). donde sqrt{n} es la raíz cuadrada de n-
8) El polinomio $P(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx$ tiene 5 raíces reales distintas. De los coeficientes $a,b,c,d$, ¿cuál no puede ser raíz de $P(x)$?
9) ¿De cuántas formas se puede expresar al 2011 como suma de algunos enteros positivos donde el orden sí importa?
10) Sea $ABCD$ un trapezoide con lados paralelos $DA$ y $BC$. Sean $M,N$ puntos sobre los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $MN$ es paralelo a $DA$ y $(DAMN)=(BCNM)$. Si $AD=1$ y $BC=7$, encuentra la longitud de $MN$.
lunes, 21 de febrero de 2011
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36 comentarios:
Ahorita corrijo, intenten los que se ven!
problema 9. 2^2010
5: 1359
2) 112
Les daré 5 min extra porque no se veían algunos problemas al principio!
1)588
No! olviden el del 1)
1)294
9.- 927
Problema 3. 3
perdon me referia al 5.-927
8.b
10) MN = 5
10: mide 5
roblema 5: 639
6. $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{10}\binom{10}{i} 2^{10-i} $
_____FIN_____
6.$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{10}\binom{10}{i} (2^{10-i}-1)$
Estuvo fácil, medio, difícil??
Se vale escribir el resultado como una sumatoria?
aww me ganaron todos haha
Cuanto da en el 5???
No, creo que no...
El 5 es 197
Del 5 cual era la respuesta?
Alguien llegó tarde?
pero si vemos: (10 en 2)(2^4-2) cuenta todos los casos cuando no son iguales todos los dígitos (considerando 0022 como dos dígitos), y después a eso le sumas 9 casos (1111, 2222, ...)
yo lleguetarde
3 es r=28
Esperen, no, la del 5 es 927
no, obvio esta mal lo de r=28, jaja pero no se q hice mal
llegué tarde igual
quisiera publicar el 4
4: 840
VAMOS!!!!!
Bueno, esperamos ya poner los resultados de los exámenes 3,4 y 5 en la semana!
Creo que 197 era respuesta pero del 7 jeje
$$\sum_{i=0}^{10} {10 \choose i}2^{10-i} = 3^{10}.$$
Por lo tanto,
$$\sum_{i=1}^{10} {10\choose i}2^{10-i} = 3^{10}-2^{10}.$$
Por lo tanto,
$$\sum_{i=1}^{10} {10\choose i}\left(2^{10-i}-1\right) = 3^{10}-2^{10}-\left(2^{10}-1\right) = 3^{10} - 2^{11} + 1.$$
Por lo tanto
$$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{10} {10\choose i}\left(2^{10-i}-1\right) = \frac{3^{10} + 1}{2} - 2^{10} = 28501.$$
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