Problema del día Martes 26 de abril de 2011 - GEO

El incírculo del triángulo $ABC$ toca al lado $CA$ en $K$. Una segunda circunferencia $S$ con el mismo centro intersecta a cada lado del triángulo en dos puntos. Sean $E$ y $F$ las intersecciones con $AB$ y $BC$ más cercanas a $B$, sean $B_1$ y $B_2$ las intersecciones con $CA$ con $B_1$ más cercano a $A$. Finalmente, sea $P$ la intersección de $B_2E$ con $B_1F$. Muestra que los puntos $B$, $K$ y $P$ son colineales.

Entrenamiento de Geometría

¡Hola a todos!

¿Me pueden decir qué han visto de geometría en cada entrenamiento (teoría y tipos de problemas)? Es que al parecer los entrenamientos de Geometría han sido con personas distintas cada vez y la idea es llenar los huecos que haya ahora en mayo.

Problema del Día: Martes 19 de Abril de 2011

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre los segmentos $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que los triángulos $ABP$ y $ACQ$ sean acutángulos, y sean $R$ y $S$ sus respectivos ortocentros. Sea $T$ la intersección de $BP$ y $CQ$. Encuentre todos los valores de los ángulos $\angle CBP$ y $\angle BCQ$ tales que $RST$ es un triángulo equilátero.

Lounge Olimpico: Sabado 16 de Abril

En que han estado trabajando?


En esta ultima semana, en que han trabajado respecto de la Olimpiada? y si no han trabajado en cosas olimpicas, que otras cosas los han mantenido ocupados, platiquen !!

Problema del día (GEO)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Se eligen puntos $A_1,B_1,C_1$ en las alturas de $A,B$ y $C$, respetivamente, de manera tal que $(A_1BC)+(AB_1C)+(ABC_1)=(ABC)$. Demuestra que el circuncírculo de $A_1,B_1,C_1$ pasa por el ortocentro de $ABC$.

Problema del día

Les dejo este problema en lugar de la competencia de Invierno, a algunos ya se los había platicado alguna vez pero según yo nadie lo resolvió completo.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que

\[(f(n))^p\equiv n\pmod {f(p)}\]

para cualquier $n\in \mathbb{N}$ y $p$ primo.

¡Échenle ganas a los entrenamientos! ¡Les quedan tres meses antes de la IMO, en los que pueden aprender mucho si los aprovechan!

Listas de problemas

Hola a Todos:

Ya estamos en la recta final. Seis de ustedes, aquellos que se esfuercen más, lograrán ir a la IMO a representar a su país en una competencia de matemáticas. Felicidades por haber llegado hasta aquí y mucho éxito en los meses que faltan.

Como el año pasado, les dejo las listas de todos los problemas que han estado trabajando en el blog. Les dejo también la lista de problemas que se hicieron el año pasado para prepararse para la IMO y la Ibero:

http://ifile.it/53olp62 (Lista 2010)

http://ifile.it/swpn6jx (Lista 2011)

En teoría, deben de poder resolver casi todos los problemas de esta lista, pues aunque no los hayan resuelto, al menos sería bueno ver cómo lo hicieron sus compañeros. Sin contar los problemas de la competencia de invierno, llevamos $9$ problemas más que el año pasado.

¿Cómo van? ¿En qué creen que necesiten entrenar? Aún quedan algunas semanas para prepararse. Éxito!

Problema del día. Números en parejas

Determina si es posible ordenar los números $1$, $1$, $2$, $2$, $\ldots$, $n$, $n$ de modo que entre dos $j$ haya $j$ números (sin contar las $j$) para cuando $n=2000$, $n=2001$ y $n=2002$.

Por ejemplo, para $n=4$ el acomodo $41312432$ es válido.

Problema del Día: Martes 04 de abril de 2011

a) Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$. El incírculo de centro
$I$ toca a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$, respectivamente. Sea $M$ el
punto medio de $EF$ y sea $P$ el otro punto de intersección de
$AD$ con el incírculo. Pruebe que $PIMD$ es cíclico.

b) Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo circunscrito a una circunferencia
$\mathcal{C}$ de centro $O$. Sean $P,Q$ los puntos de intersección
de $\mathcal{C}$ con $AC$ y sean $E,F,G,H$ los puntos de tangencia
de $\mathcal{C}$ con los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.
Pruebe que los puntos medios de $EH$ y $FG$ están sobre el
circuncírculo del triángulo $POQ$.

Cuarto Entrenamiento

El cuarto entrenamiento donde se aplicaran los examenes selectivos para la IMO sera del 28 de abril al 8 de mayo en Cuernavaca Morelos, en el lugar de siempre, los Belenes (esta vez no habra fiestas que los interrumpan) Estoy viendo la manera mas eficaz de mandarles las calificaciones de marzo. Confirmen por este medio su asistencia por favor.