martes, 19 de abril de 2011
Problema del Día: Martes 19 de Abril de 2011
Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $P$ y $Q$ puntos sobre los segmentos $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que los triángulos $ABP$ y $ACQ$ sean acutángulos, y sean $R$ y $S$ sus respectivos ortocentros. Sea $T$ la intersección de $BP$ y $CQ$. Encuentre todos los valores de los ángulos $\angle CBP$ y $\angle BCQ$ tales que $RST$ es un triángulo equilátero.
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2 comentarios:
los angulos deben ser ambos iguales a 15
Primero digamos que $QS\cap PR=X$, $BR\cap CS=Y$, $CS\cap AB=F$, $BR\cap AC=E$ y finalmente $AT\cap BC=D$. Ahora supongamos que $\Delta TRS$ es equilátero y analicemos las repercuciones que esto implica en $\angle QCB$ y en $\angle PBC$ y veamos después si con esto basta para que las condiciones que buscamos (que $\Delta TRS$ sea equilátero) se den. Para empezar, como $BY$ y $CY$ son bicectrices, $\angle YBC=30=\angle YCB$ de modo que $BYC=120$. Como $CS\parallel PX$ y $QX\parallel BR$ entonces $\angle QXP=120$. Luego, como $\Delta APB$ y $\Delta AQC$ son acutángulos, entoces los ángulos que buscamos son menores estrictos a $30$ y $XSTR$ es convexo y dentro tiene a $Y$.
Ahora veamos que si $\Delta RST$ es equilátero entonces $ XSTR$ es cíclico y $\angle SXT=\angle TXR=60$, por lo cual $\Delta TXR\cong\Delta TXS$, por lo cual $\angle XRS=\angle XSR=30$. Luego, como $XSTR$ es convexo, $XR\parallel CY$ y $\angle XRS=\angle YCB$ entonces $BC\parallel RS$, similarmente con este dato y con el hecho de que $\Delta ABC\sim\Delta TRS$, $RT\parallel AB$ y $ST\parallel AC$ de modo que $\Delta ABC$ y $\Delta TRS$ son homotéticos con centro de homotecia $Y$. Por esto último, podemos ver que $A$, $Y$ y $T$ son colineales y que por el Teorema de Ceva, $\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}=1$ de donde $BD=CD$ y entonces $TD$ es mediatriz de $BC$ por lo tanto, $\Delta TBC=\Delta TCB$.
Ahora podemos suponer que $\angle PBC=\angle QCB$ y veamos que por simetría, que $D$ es punto medio de $BC$, $SR\parallel BC$, $A$, $X$, $Y$ y $T$ son colineales y que $AD$ corta a $SR$ en su punto medio, de modo que $\Delta TRS$ es equilátero si y sólo si $TR\perp PX$, $TR\perp CS$ y si $CS$ corta a $TR$ en su punto medio. De estos útlimos, vemos que $\Delta RCT$ debe ser isósceles, por lo que $\angle TCS=\angle RCS=30-\angle TCB$ por lo que $\angle RCA=\angle TCB$ de donde vemos que como $\Delta ARC$ es isósceles, enotnces $\angle RAC=\angle TCB$ pero como $R$ es el otrocentro de $\Delta ABP$ entonces $\angle RAC=\angle RBT=30-\angle TBC= 30-\angle TCB$. De donde concluimos que $\angle TCB=30-\angle TCB$ por lo tanto sólo $\angle TBC=15=\angle TCB$ funciona.
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