Algunas noticias de álgebra

Hola seleccionados nacionales.

Les dejo este post para informarles de algunas cosas con respecto al entrenamiento de álgebra.

1. Hay algunos problemas de polinomios que se trabajaron en este blog el año pasado. El post es este. Les recomiendo que lo chequen para repasar un poco de lo que vimos en los entrenamientos de diciembre. Intenten dos pomodoros por problema.

2. Del mismo modo, como ya vimos ecuaciones funcionales, les dejo algunas para que las intenten. Igual, es dos pomodoros por problema:

• Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen $$x\cdot f(x) = \lfloor x \rfloor f(\{x\})+\{x\}\cdot f(\lfloor x\rfloor)$$. Recuerda que $\lfloor x \rfloor$ es la parte entera de $x$ y $\{x\}$ es la parte fraccional de $x$.
  
• Encuentra todas las funciones estrictamente monótonas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(x+f(y))=f(x)+y$.
  
• Muestra que para cada entero $n\ge 2$ no existen funciones estrictamente monótonas $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(x+f(y))=f(x)+y^n$.

3. Finalmente, para el entrenamiento de Guanajuato tendremos dos sesiones de Álgebra. Estas serán de números complejos. Así mismo, en Geometría tal vez verán cómo se pueden usar complejos para resolver problemas.

Sin embargo, la idea es que no nos tardemos mucho en las definiciones y herramientas básicas, por lo cual queremos que chequen este tema previamente. En concreto, se espera que antes de llegar al siguiente entrenamiento lean y hagan los ejercicios de las siguientes notas:

• Páginas 9 a 34 de este libro: Variable Compleja

Hay algunas cosas más técinicas en ese PDF. Si de pronto se encuentran con cosas muy raras, no les hagan tanto caso. La idea es que entiendan las siguientes cosas:

• Qué es un número complejo
• Como se suman y multiplican complejos
• Qué es la norma y el conjugado de un complejo
  
• Qué es el Teorema de DeMoivre
• Cómo se sacan raíces complejas n-ésimas
• Tener una noción básica de qué es cada una de estas cosas geométricamente

Nos vemos en Guanajuato.

Saludos
Leo