Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC=DE$,
$\angle BAC=\angle ABE= \angle AED-90^{\circ}$
y $\angle ADE=\angle ACB$.
Demuestra que $BCDE$ es un paralelogramo.
jueves, 16 de febrero de 2012
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Por ley de senos en los triángulos ABC y AED, tenemos AB/sen<ACB = BC/senBAC y AE/sen<ADE = ED/sen<DAE. Usando que BC=ED y <ACB=<ADE, tenemos que AE/sen<BAC = AB/senDAE.
Luego, por ley de senos en AEB, tenemos que AE/sen<ABE = AB/sen<AEB. Usando el resultado del párrafo aanterior y que <ABE=<BAC, tenemos que sen<DAE = sen<AEB. Si estos ángulos fueran suplementarios, el triángulo AEB tendría suma de ángulos internos mayor a 180; entonces son iguales. Ahora simples angulitos nos dan que ED y BC son paralelas, por lo que BCDE es un paralelogramo.
Veamos que por ley de senos, tenemos que
$\frac{AB}{\sin{\angle BCA}}=\frac{BC}{\sin{\angle BAC}}$
y
$\frac{AE}{\sin{\angle ADE}}=\frac{DE}{\sin{\angle DAE}}$
De aquí obtenemos que dado de $BC=DE$, $\angle BCA=\angle EDA$ y $\angle ABE=\angle CAB$, tenemos que
$\frac{AB}{\sin{\angle DAE}}=\frac{AE}{\sin{\angle ABE}}=\frac{AB}{\sin{\angle EAB}}$
Y por ende $\sin{\angle DAE}=\sin{\angle AEB}$ y como $AD$ y $BE$ se cortan dada la convexidad de $ABCDE$, tenemos que $\angle DAE=\angle AEB$. Ahora, sean
$\angle ABE=\alpha$
$\angle AEB=\gamma$
$\angle BCA=\beta$
Ahora, veamos que $\alpha+\beta+\gamma=90$, pues tenemos que $\angle AED=90+\alpha$, pero también $\angle AED=180-\beta-\gamma$ por suma de ángulos internos, y se sigue que la suma que queremos es $90$. Ahora, con esto, tenemos que $\angle BCD+\angle EC=180$, por lo que $BC$ es paralela a $DE$, y acabamos.
Pues está fácil. Le llamo a al ángulo ABE, d al ángulo BEA, b al ángulo BCA=ADE, r al radio de ABC, y al ángulo BEA y p al radio de ADE. Entonces por ley de senos, sena/seny=AE/EB=AEsenb/ABsenb=p/r=(AD/cosa)/(AC/cosd)=ADcosd/ACcosa=p/r=(DE/send)/(BC/sena)=sena/send así que d=y y entonces se ve que BC||DE y acabamos.
Pues cuando se tienen relación de ángulos que no involucra cíclicos y otros lados relacionados... esto grita por semejanzas o trigonometría, así que usaré la última. Por ley de senos en $ABC$ y en $AED$, $\frac{BC}{\sin{BAC}}=\frac{AB}{\sin{ACB}}$ y $\frac{DE}{\sin{DAE}}=\frac{AE}{\sin{ADE}}$. Dividiendo la primera entre la segunda obtenemos que $\frac{\sin{DAE}}{\sin{BAC}}=\frac{AB}{AE}$ puesto que $BC=DE$ y $\angle{BCA}=\angle{ADE}$.
Nuevamente haremos usaremos ley de senos en $ABE$ y veremos que $\frac{AE}{\sin{ABE}}=\frac{AB}{\sin{AEB}}$ igualando las ecuaciones con un cociente de $\frac{AB}{AE}$, veremos que $sin{DAE}=\sin{AEB}$, pero ambos son ángulos de un tríangulo y menores a $180$, así que no pueden sumar $180$ y por lo tanto son iguales. De aquí sea $\beta:=\angle{ADE}=\angle{ACB}$ y $\alpha:=\angle{BAC}$, entonces $\angle{AED}=90+\alpha$ y dado que los ángulos internos de un triángulo suman $180$ en $AED$, entonces $\angle{EAD}=\angle{AEB}=90-\alpha-\beta$ y por el mismo argumento en $ABE$ vemos que $\angle{CAD}=2\beta$ así que trazando la bisectriz de $\angle{CAD}$ vemos que ésta es paralela tanto a $DE$ como a $CB$ por ángulos alternos internos. De dónde $BC\parallel DE$ y dado que miden lo mismo $BEDC$ es un paralelogramo como queríamos.
Sean $\angle BAC=\angle ABE=\alpha$, $\angle BCA=\angle EDA=\beta$ y $\angle AEB=\theta$. Entonces, $\angle AED=90+\alpha$ y $\angle EAD=90-\alpha-\beta$. Por ley de senos sobre $ABC$ y $AED$, $AB/\sin \beta=BC/\sin \alpha$ y $AE/\sin \beta=ED/\sin (90-\alpha-\beta)=BC/\sin (90-\alpha-\beta)$. Entonces, $AB\sin \alpha=BC\sin \beta=AE\sin (90-\alpha-\beta)$. Ahora, por ley de senos sobre $ABE$, $AE/\sin \alpha=AB/\sin \theta\Rightarrow AB\sin \alpha=AE\sin \theta$, luego $\sin (90-\alpha-\beta)=\sin \theta$, de donde $\theta=90-\alpha-\beta$ o $\theta=90+\alpha+\beta$. Es fácil verificar, sustiuyendo estos valores en $\theta$ y fijándonos en el triángulo con vértices $A,E$ y el punto de interseccion entre $AD$ y $BE$ que la primera opcion es la única posible. Entonces, $\angle DEB=90+\alpha-(90-\alpha-\beta)=2\alpha+\beta$ y $\angle EBC=180-\alpha-\beta-\alpha=180-2\alpha-\beta$, luego $BC\parallel ED$ y como $BC=ED$, $BCDE$ es un paralelogramo, como queríamos.
$\alpha = \angle BAC = \angle ABE = \angle AED -180$
$\beta = \angle ADE = \angle ACB$
$\theta = \angle EAD$
Con el triangulo AED vemos que $\alpha + \beta + \theta =90$
Por ley de senos en $\triangle AED$ y $\triangle ABC$:
$\frac{\sin \theta}{ED}=\frac{\sin \beta}{AE}$ y $\frac{\sin \alpha}{BC}=\frac{\sin \beta}{AB}$
Y como $BC=ED$
$\Rightarrow AE \cdot \sin \theta = AB \cdot \sin \alpha$
$\Rightarrow \frac{\sin \theta}{AB}=\frac{\sin \alpha}{AE}$
Por ley de senos en $\triangle ABE$
$\frac{\sin (\angle AEB)}{AB}=\frac{\sin \alpha}{AE}$
Juntando las ultimas dos ecuaciones:
$\Rightarrow \sin \theta = \sin (\angle AEB)$
$\Rightarrow \angle AEB = \theta$ o $180-\theta$
Si pasa lo segundo, entonces $EB \parallel AD$, pero esto es una contradiccion porque ABCDE es convexo.
$\Rightarrow \angle AEB = \theta$
$\angle DEB = \angle ADE - \angle AEB = 90 + \alpha - \theta$
y $\angle EBC = \angle ABC - \angle ABE = 180 - \alpha -\beta -\alpha$
$=90+\alpha +\beta + \theta - \alpha - \beta -\alpha=90-\alpha +\theta$
$\Rightarrow \angle DEB + \angle EBC = 180$
$\Rightarrow ED \parallel BC$
y como ED=BC, BCDE es paralelogramo.
Sean R y S las intersecciones de AC y AD con BE, respectivamente.
Sean $\angle BAC=\angle ABE=\alpha$, $\angle ADE=\angle ACB=\beta$ y $\angle ADE=\gamma$
Por ley de senos a triángulos BCR, ARE y AED:
$\frac{BR}{\sin \beta}=\frac{BR}{\sin \angle BRC}$
$\frac{AE}{\sin \sin \angle ARE}=\frac{AR}{\sin \angle AER}$
$\frac{AE}{\sin \beta}=\frac{ED}{\sin \angle EAD}$, resp.
Pero $BC=DE$, $\angle BRC=\angle ARE$ y como $\angle BAC=\angle ABE=\alpha$, $BR=AR$.
Entonces $\sin \angle AER=\sin \angle EAD=\gamma$
Y como AES es un triángulo, $\angle AER+\angle EAD<180{\circ}$.
$\angle AER=\angle EAD$
Como $\alpha= \angle AED-90^{\circ}$ entonces $\angle SED=90^{\circ} +\alpha -\gamma$. Además $\angle ESD=2\gamma$ por ser externo a ASE.
Entonces como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180, aplicado a ESD. $\beta=\angle EDS=90^{\circ} +\alpha +\gamma$.
Entonces como $\beta=\angle BCR$, $\angle BRC=2\alpha$ y la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180.
$\angle RBC=90^{\circ} -\alpha +\gamma$. Pero $\angle SED=90^{\circ} +\alpha -\gamma$. Entonces $ED\|BC$ pero $BC=DE$.
Por lo tanto $BCDE$ es un paralelogramo
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