Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia con centro $O$ y sin lados paralelos. Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de lados opuestos se cortan en $O$ si y sólo si
$OA\cdot OC=OB\cdot OD$.
miércoles, 29 de febrero de 2012
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Utilizaré números complejos. Llamo $O=0$, $A=a=a_1+ia_2$ y análogamente para los demás 3 puntos. Es fácil ver que la condición de los puntos medios es equivalente a $a+b+c+d=0$, es decir
$a_1+b_1+c_1+d_1=a_2+b_2+c_2+d_2=0$.
También usando que AB+CD=BC+DA, se obtiene $(a_1-b_1)^2-(a_2-b_2)^2+(c_1-d_1)^2-(c_2-d_2)^2$$=$$(b_1-c_1)^2-(b_2-c_2^2)+(d_1-a_1)^2-(d_2-a_2)^2$, que es equivalente a
$(a_2-c_2)(b_2-d_2)+(b_1-d_1)(c_1-a_1)=0$.
Finalmente, la tercera condición es equivalente a:
$(a_1c_1)^2+(a_1c_2)^2+(a_2c_1)^2+(a_2c_2)^2$$=$$(d_1b_1)^2+(d_1b_2)^2+(d_2b_1)^2+(d_2b_2)^2$, ó $(a_1^2+a_2^2)(c_1^2+c_2^2)=$$(d_1^2+d_2^2)(b_1^2+b_2^2)$.
Asumamos $(a_2-c_2)(b_2-d_2)+(b_1-d_1)(c_1-a_1)=0$, y tendremos:
$a_1+b_1+c_1+d_1=a_2+b_2+c_2+d_2=0$$\Leftrightarrow d_1=-(a_1+b_1+c_1)$ y $d_2=-(a_2+b_2+c_2) $$\Rightarrow (a_2-c_2)(2b_2+a_2+c_2)+(c_1-a_1)(2b_1+a_1+c_1)=0 $$\Leftrightarrow b_2 = \left( \displaystyle\frac{(a_1-c_1)(2b_1+a_1+c_1)}{a_2-c_2}-a_2-c_2\right)/2$. Queremos $(a_1^2+a_2^2)(c_1^2+c_2^2)=$$\left((a_1+b_1+c_1)^2+\left(a_2+\left( \displaystyle\frac{(a_1-c_1)(2b_1+a_1+c_1)}{a_2-c_2}-a_2-c_2\right)/2+c_2\right)^2\right)$$(b_1^2+b_2^2)$, lo cual es cierto. Así, he demostrado que la condición de los puntos medios implica la segunda condición. Ahora, para demostrar el regreso, basta tomar un ABCD que cumpla la 1° condición (por ende la 2° también), considerar que AB está a la "izquierda" de O y CD a la "derecha", fijar C y D, duplicar los puntos A y B, mover los duplicados A' y B' en las líneas DA y CB, hasta que se cumpla la 2° condición y que B'A' sea tangente al círculo, y notar que OB/OA=OB'/OA', pero como B'A' es tangente al círculo, entones sin pérdida de generalidad, B' está más a la "izquierda" que B, y A' más a la derecha que A, por lo que OB$\textless$OB' y OA$\textgreater$OA', y así OB/OA $\textless$ OB'/OA' (porque ABCD es convexo), y entonces se produce una contradicción, por lo que A=A' y B=B' entonces si se cumple la la 2° condición también se cumple la 1°. Quod erat demonstrandum. $\clubsuit$.
Perdón, donde no se alcanza a leer, dice:
1: $=0$
2: $+c_2\right)^2/right)$.
También, si $a_2=c_2$, no se podía definir $b_2$ así, pero tendríamos $a_1=c_1$ y entonces lo que queda por demostrar está fácil.
Perdón otra vez no salió bien. El punto es que a lo que está en paréntesis se le suma $c_2$ y se eleva al cuadrado, y luego se multiplica por $(b_1^2+b_2^2)$.
$\Rightarrow$ (supongamos que las rectas que unen puntos medios se cruzan en $O$)
Sean $K,M,L,N$ puntos medios de $BC,CD,DA,AB$, resp. COmo $KMLN$ es paralelogramo, su intersección $O$ es el punto medio de $BC$. Como $O$ es centro de una circunferencia tangente a los cuatro lados del cuadrilátero, está sobre la bisectriz de cada ángulo del cuadrilátero. Entonces, sean $\angle OAL=\angle OAB=\alpha$, $\angle OBK=\angle OBA=\beta$, $\angle ODL=\angle ODC=\gamma$, $\angle OCK=\angle OCD=\varepsilon$. Por ley de senos, $OA/OB=\sin\beta/\sin\alpha$, por otro lado $OA\sin\alpha=OL\sin\angle OLA$ y $OB\sin\beta=OK\sin\angle OKB$, luego $OA/OB=(OL\sin\angle OLA/OK\sin\angle OKB)(\sin\beta/\sin\alpha)=\sin\beta/\sin\alpha$ $\Rightarrow \sin\angle OLA=\sin\angle OKB$. Como $ABCD$ no tiene lados paralelos, obtenemos que $\angle OLA=\angle OKB=\frac{360-2\alpha-2\beta}{2}=180-\alpha-\beta$. Entonces, $\angle LAO=\angle KOB=\alpha$. Entonces, $ALO$ y $OKB$ son semejantes, de donde $OA/OB=AL/OK$. Análogamente, $DLO$ y $OKC$ son semejantes, de donde $OD/OC=DL/OK$. Entonces, $OA/OB=AL/OK=DL/OK=OD/OC\Rightarrow OA\cdot OC=OB\cdot OD$, como queríamos.
$\Leftarrow$ (supongamos que $OA\cdot OC=OB\cdot OD$)
Tenemos que $OA/OB=OD/OC$
Sea $\Gamma$ la circunferencia inscrita a $ABCD$ y sean $T,S$ los puntos de tangencia de $\Gamma$ a $BC$ y $DA$. Sean $X,Y$ los puntos sobre $AD$ y $BC$ tales que $XY\parallel TS$ y $XY$ pasa por $O$. Entonces, $\angle AXO=\angle BYO=180-\alpha-\beta$. De aquí es fácil obtener que $AXO$ y $OYB$ son semejantes y que $DXO$ y $OYC$ son semejantes, luego $OA/OB=AX/OY$ y $OD/OC=DX/OY$, luego $AX/OY=OA/OB=OD/OC=DX/OY\Rightarrow AX=DX$. Análogamente, $BY=CY$. Entonces, la recta que une los puntos medios de $AD$ y $BC$ pasa por $O$- Haciendo esto para el otro par de lados opuestos $AB, CD$ vemos que la recta que pasa por sus puntos medios pasa por $O$. Esto completa la prueba.
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