jueves, 1 de marzo de 2012
Problema del Día: Jueves 1ro de Marzo de 2012
Hallar el mayor número real $k$ con la siguiente propiedad: Para cualesquiera números positivos $a,b,c$ tales que $kabc>a^3+b^3+c^3$, exista un triángulo de lados $a,b,c$.
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
6 comentarios:
Básicamente, lo que nos pide el problema es que $c \ge a+b \Rightarrow k \le \displaystyle\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$. Veámos cuando crece $\displaystyle\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$. Queremos que $\displaystyle\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \le \displaystyle\frac{a^3+b^3+(c+y)^3}{ab(c+y)}$. Llamamos $a^3+b^3=x$ y ésto es equivalente a $\frac{x}{c}+c^2 \le \frac{x}{c+y} + c^2 + y^2 + 2cy\Leftrightarrow$$ x \le \frac{cx}{c+y} + cy^2 + 2c^2y \Leftrightarrow xc+xy \le xc + 3c^2y^2+cy^3+2c^3y \Leftrightarrow$$ x \le 3c^2y+cy^2+2c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3 \le \left(3c^2y+cy^2\right) + 2c^3$. Ésto es fácil de ver si $c \ge a+b$, por lo que la función $f(c)= \displaystyle\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ crece cuando $c \ge a+b$, y así es suficiente con ver que $(a,b,c)=(a,b,a+b)$ satisface la desigualdad (queremos $c\ge a+b \Rightarrow f(c) \ge k$), por lo que $kab(a+b) \le a^3+b^3+(a+b)^3 \Leftrightarrow$$ (k-3)ab(a+b) \le 2(a^3+b^3)=2(a+b)(a^2-ab+b^2) \Leftrightarrow k-3 \le \displaystyle\frac{2(a^2-ab+b^2)}{ab} \Leftrightarrow$$ \displaystyle\frac{k-1}{4} \le \displaystyle\frac{a^2+b^2}{2ab}$. Así que, si $k \le 5$, por AM-GM, $(a,b,a+b)$ satisface la desigualdad. Además, si $k \textgreater 5$, $(a,b,c)=(a,a,2a)$ es una contradicción, por lo que $k \le 5$. Así, $k=5$ es la respuesta. Quod erat demonstrandum. $\clubsuit$.
Perdón por los renglones que no se alcanzan a ver. Dicen:
1. $\ldots +2c^3y \Leftrightarrow x \le \ldots$
2. $\ldots \Leftrightarrow$$ k-3 \le \displaystyle\frac{2(a^2-ab+b^2)}{ab} \Leftrightarrow$$ \displaystyle\frac{k-1}{4} \ldots$
Primero, sea $c\geq b\geq a$. Ahora veamos que si $k>5$ entonces tenemos que poniendo la terna $\left(a, b, c\right)=\left(z, z, 2z\right)$ tenemos que $k\cdot 2z^{3}>10z^{3}$ y la terna no forma lados de un triángulo. Entonces $k\leq5$.
Ahora, supongamos que $k=5$, y que ocurren las siguientes condiciones, $kabc>a^{3}+b^{3}+c^{3}$ y $c=a+b+x$, donde $x\geq0$. Ahora, sea $P\left(x\right)$ un polinomio definido de la manera
$P\left(x\right)=x^{3}+x^{2}\left(3a+3b\right)+x\left(3a^{2}+3b^{2}+ab\right)+2\left(a^{3}+b^{3}-ab\left(a+b\right)\right)$
con $a, b \in \mathbb{R}^{+}$. Podemos ver claramente que si $x\geq0$, entonces $P\left(x\right)\geq 0$. Ahora, tenemos que $x\geq0$, de donde obtenemos que $P\left(x\right)\geq0$, pero despejando la desigualdad
$5ab\left(a+b+x\right)>a^{3}+b^{3}+\left(a+b+x\right)^{3}$
obtenemos que $0>P\left(x\right)$, de donde obtenemos que $0>0$, y eso es una contradicción a que $k=5$ no funciona, por lo que si lo hace, y es el máximo valor buscado.
Es bastante fácil ver que si existe una triada $a,b,c$ con $a\geq b\geq c$ de modo que existe un triángulo de lados $a,b,c$, entonces también lo existe de lados $1,\frac{b}{a},\frac{c}{a}$ y a la inversa, de modo que supondremos que el lado mayor es $1$. Además, si hay una triada $1\geq b\geq c$ de modo que no existe un triángulo con sus lados de esas medidas, no debe cumplir la desigualdad, en particular, si ninguna triada así lo cumple, entonces las condiciones suficientes y necesarias del enunciado se cumplen, pues toda triada que cumpla la desigualdad, podrá formar un triángulo con longitudes esos valores.
Consideremos todas las triadas que no cumplen la condición de poder formar un triángulo con esas longitudes y sean $1,a,b$ para $b\textless 1-a$ (para que no puedan formar un triángulo, debe haber dos lados que sumados sean de menor tamaño que el tercero) y de modo que lo podemos acercar a cero cuanto queramos. Por lo dicho en el párrafo anterior, $k\leq\frac{1+a^{3}+b^{3}}{ab}$ para cada $0<a\leq 1$.
De aquí, minimizando dicha fracción, derivamos con respecto al cambio en $\alpha$ para encontrar los puntos críticos (también analizaremos los puntos que se encuentran en el borde del dominio de $b$). La derivada igualada a cero nos queda $\frac{2b}{a}-\frac{1+a^{3}}{ab^{2}}=0$ de dónde $2b^{3}=1+a^{3}$ por lo que $b^{3}=\frac{1+a^{3}}{2}$. Similarmente se puede definir $a^{3}$, si tenemos que a lo más uno de los dos es mayor a $\frac{1}{2}$, digamos, $a$, entonces claramente, si $b^{3}$ se definiera así, entonces sería mayor también y no cumpliría la desigualdad, de modo que uno de los dos, al no poder ser punto crítico en su función, entonces su valor se encontrará en los bordes de su dominio (acotado por la desigualdad y el cero), diremos que este será $b$. Si $b$ se asemeja lo más posible al cero, dado que el numerador es al menos $1$ y el denominador tiende a $0$, entonces la fracción tiende a infinito y no nos sirve esta cota. Por lo tanto, debe acercarse a $1-a$ usando límites, dado que el denominados no tenderá a $0$ a menos que $a$ tienda a $1$, en cuyo caso, ya vimos que la fracción tenderá a infinito y no nos servirá, así que sabemos que el límite será el valor tomado en ese punto.
Con esto tenemos que $k\leq\frac{1+a^{3}+(1-a)^{3}}{a(1-a)}=\frac{2-3a+3a^{2}}{a(1-a)}=\frac{2}{a}+\frac{2}{1-a}-3$ así que buscando el valor mínimo de esto, lo que haremos será derivarlo con respecto a $a$ e igualar a $0$; por lo que $\frac{2}{(1-a)^{2}}-\frac{2}{a^{2}}=0$ de modo que $a^{2}=(1-a)^{2}$ y entonces $a=\frac{1}{2}$, y evaluando en la desigualdad, obtenemos que $k\leq 5$ as+i que el máximo valor de $k$ es $5$
Afirmamos que $k=5$. Si $k>5$ cumpliera, tendríamos que si $kabc>a^{3}+b^{3}+c^{3}$, entonces $a,b,c$ serían lados de un triángulo, pero si sustituimos $a=2b, b=c$ ($a,b,c$ no pueden ser lados de un triángulo porque $a=b+c$), tenemos que $2kb^{3}>10b^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$, luego se cumple la desigualdad y $k>5$ no funciona.
Ahora veremos que si $k=5$, se cumple la proposición. S.p.g. supongamos que $a\geq b\geq c$, entonces basta probar que si $a,b,c$ no son lados de un triángulo, se cumple que $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 5abc$, y $a,b,c$ no son lados de un triángulo si y sólo si $a\geq b+c$. Sea $k=\frac{a}{b+c}\geq 1$. Entonces, $a=k(b+c)$. Sustituyendo esto por $a$ nos queda demostrar que $k^{3}(b+c)^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 5(b+c)bc$ $\Leftrightarrow (k^{3}+1)(b^{3}+c^{3})\geq (5k-3k^{3})(b^{2}c+bc^{2})$.
Si $5k-3k^{3}\leq 0$, esto es cierto pues $(k^{3}+1)(b^{3}+c^{3})$ es positivo. Si no, demostraremos que $k^{3}+1\geq 5k-3k^{3}$. Tenemos que $k^{3}+1\geq 5k-3k^{3}\Leftrightarrow 4k^{3}-5k+1\geq 0$ $\Leftrightarrow (k-1)(4k^{2}+4k-1)\geq 0$. Como $k\geq 1$, $k-1\geq 0$ y $4k^{2}+4k-1\geq 4+4-1=7>0$, por lo tanto $(k-1)(4k^{2}+4k-1)\geq 0$ y $k^{3}+1\geq 5k-3k^{3}$. Entonces, por desigualdad de reacomodo $b^{3}+c^{3}\geq b^{2}c+bc^{2}\Rightarrow (5k-3k^{3})(b^{3}+c^{3})$ $\geq (5k-3k^{3})(b^{2}c+bc^{2})$ $\Rightarrow (k^{3}+1)(b^{3}+c^{3})\geq (5k-3k^{3})(b^{3}+c^{3})$ $\geq (5k-3k^{3})(b^{2}c+bc^{2})$, como queríamos. Entonces, $k=5$ funciona.
Publicar un comentario