Problema del día, Viernes 1 de junio del 2012 (Juan).

(a) Tengo una gráfica donde cada vértice tiene grado al menos 50 y a lo más 100. Tengo 1331 colores. Demuestra que puedo colorear cada vértice de modo que todo vértice V tenga 20 (o más) amigos todos coloreados de diferente color.
(b) El mismo problema, pero con 49 colores, no 1331.

Problema del día (Adán)

Determina todas las parejas $\left(m, n\right)$ tales que $m, n, \frac{n^{3}+1}{mn-1} \in \mathbb{Z}^{+}$.

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $\Omega$ y $\omega$ su circunferencia circunscrita e inscrita respectivamente. Sean $D, E, F$ los puntos de tangencia de $\omega$ con los lados $BC, CA, AB$ respectivamente y sean $X, Y, Z$ los puntos medios de los arcos menores $BC, CA, AB$ de $\Omega$. Muestra que $DX, EY, FZ$ son concurrentes.

Sucesiones Aritméticas y Geométricas

Prueba que para cada entero positivo $n\geq 3$ existen sucesiones $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ de enteros positivos de manera que la primera es sucesión aritmética y la segunda es geométrica tales que $b_1\textless a_1\textless b_2\textless\dots\textless b_n\textless a_n$ y da un ejemplo de ambas para $n=5$.

Problema del dia 29 de mayo

Dado un conjunto de círculos unitarios en el plano cuya área total es $S$. Prueba que entre dichos círculos existen cierto número de ellos que no se intersectan (en más de un punto) cuya área total es mayor o igual a $\left(\frac{2}{9} \right)S$

Problema del dia 28 de mayo (Jorge)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ su ortocentro. $M$,$N$ son puntos en $AB$,$AC$ respectivamente, tal que $\angle HMB=\angle HNC= 60^{\circ}$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $HMN$. $D$ es un punto del mismo lado que $A$ respecto a $BC$ tal que el triángulo $BCD$ es equilátero. Demuestra que $H, O, D$ son colineales.

Problema del día Sábado 26 de Mayo (Diego)

Problema 1. 

Sean $b,n\geq 2$ numero naturales tal que para cada $k\geq 2$ natural exista un entero $a_k$ que cumpla que $b-a_k^n$ es multiplo de $k$. Demuestra que $b=A^n$ para algún $A$ natural. 

Problema 2. 

Sea $n$ un numero natural. Demuestra que 

\[ \binom{2^{n}-1}{0},\;\binom{2^{n}-1}{1},\;\binom{2^{n}-1}{2},\;\ldots,\;\binom{2^{n}-1}{2^{n-1}-1} \]

Son congruentes modulo $2^n$ a $1,3,\ldots, 2^n-1$ en algún orden.

Problema del día viernes 25 de mayo. (Juan)

Sea ABC un tríangulo cuyo menor lado es BC. U está en el arco menor BC del circuncírculo de ABC. Las mediatrices de AB y AC intersectan a AU en X y Y, respectivamente. BX y CY se intersectan en T. Muestra que AU mide lo mismo que la suma de las longitudes de los segmentos BT y CT.

Problema del día Jueves 24 de Mayo (Adán)

Determina todas las $n \in \mathbb{Z}^{+}$ tales que $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ es entero.

Area blanca y negra, problema del día 23 de Mayo

Hay un tablero de ajedrez infinito, para cada pareja de enteros $m,n$ consideramos un triángulo rectánculo con vértices compartidos con la cuadrícula y con sus catetos paralelos a los ejes del tablero. Sean $S_{b}$ y $S_{n}$ el área total de blanco y de negro dentro del triángulo respectivamente. Sea $f(m,n)=|S_{b}-S_{n}|$.
a) Encuentra todos los posibles valores de $f(m,n)$ para $2|m-n$.
b) Prueba que $f(m,n)\leq \frac{max\{m,n\}}{2}$.
c) Prueba que $f(m,n)$ no está acotada por arriba.

Problema del día martes 22 de mayo (Julio)

Encuentra todas las funciones de los reales a los reales tales que: para todos los reales .

Problema del dia 21 de mayo (Jorge)

Sean $\omega _1,\omega _2$ dos circunferencias. Sea $S$ el conjunto de tríangulos $ABC$, tal que $\omega _1$ es su circuncírculo y $\omega _2$ su excírculo, $\omega _2$ es tangente a $BC, AC, BC$ en $D,E,F$ respectivamente.
Para todo $ABC$ en $S$, demuestra que el gravicentro del $DEF$ es un punto fijo.

Problema Del Día, Viernes 18 de mayo del 2012 (Juan)

Va poquito temprano.
Determina todas las funciones f de reales a reales tales que para todos x,y reales,
$f\left(x-f(y)\right)=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1$.

Problema del Día, Jueves 17 de Mayo (Adán)

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC+BC=3AB$. Sea $I$ el incentro de $ABC$ y sean $D$ y $E$ los puntos de tangencia del incírculo de $ABC$ con los lados $BC$ y $AC$ respectivamente. Sean $X$ y $Y$ los reflejados de $D$ y $E$ con respecto a $I$ respectivamente. Muestra que el cuadrilátero $ABYX$ está sobre una circunferencia.

Problema del Día, Miércoles 16 de Mayo (Chuck)

Sean $r_{1},r_{2},\dots,r_{n}$ reales positivos mayores o iguales a $1$. Prueba que: \[\frac{1}{r_{1}+1}+\frac{1}{r_{2}+1}+\dots+\frac{1}{r_{n}+1}\geq \frac{n}{\sqrt[n]{r_{1}r_{2}\dots r_{n}}+1}.\]