A3) Sea $P(x) \in \mathbb{Z} [x]$, de grado $n>0$ y con $n$ raíces reales en el intervalo $(0,1)$. Demuestra que le valor absoluto del coeficiente principal de $P(x)$ es mayor o igual que $2^n$.
miércoles, 22 de agosto de 2012
Álgebra 3
Ayer se me pasó poner el post para que comenten las soluciones. Si yo no lo pongo y alguien ya quiere publicar acerca de un problema, pongan ustedes mismos el post.
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4 comentarios:
Mmm, bueno, digo más o menos que hice.
Sea $C$ el coeficiente principal de $P$. Usé que si $x\in \left(0, 1\right)$ entonces
$x\left(1-x\right)\leq \frac{1}{4}$
y usando esto, se ve que
$\left|P\left(0\right)P\left(1\right)\right|\leq \frac{C^{2}}{4^{n}}$
pero como $P$ tiene coeficientes enteros, y $0$ y $1$ no son raíces de $P$, entonces
$\left|P\left(0\right)P\left(1\right)\right|\geq 1$
de donde es claro que $C^{2}\geq 4^{n}$ y por lo tanto
$\left|C\right|\geq 2^{n}$
como queríamos.
Mi solución supongo que es la misma que la de Adán, escribir el polinomio de acuerdo a sus raíces, ver los valores de $P(1)$ y $P(0)$ pues son los que pueden ocupar más la condición de que las raíces quedan entre $0$ y $1$ y por último ocupar
$x\left(1-x\right)\leq \frac{1}{4}$ cuidando los valores absolutos.
A mí me salió igual, usando que x(1-x) es menor o igual a 1/4
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