N3

Dados $p,q>1$ números enteros, se escribe un número en cada una de las casillas de un tablero rectangular de $p\times q$. Sea $a_{ij}$ el número en la fila $i$ y columna $j$. Se completa un nuevo tablero de la siguiente manera: Se escriben en sus casillas los mismos números, siguiendo el orden
$a_{11},a_{12},\dots , a_{1q},a_{21},a_{22},\dots , a_{2q},\dots ,a_{p1},a_{p2},...,a_{pq},$
pero por columnas, de arriba hacia abajo y comenzando por la primera de izquierda a derecha. Supongamos que inicialmente están los números 1,2,$\dots, pq$ escritos en ese orden, por filas, de izquierda a derecha, comenzando por la fila superior. Demuestra que después de aplicar una cantidad finita de estas operaciones, se regresa a un tablero como el original y determina la menor cantidad de operaciones necesarias para lograr esto.