Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $P$ el punto de concurrencia de sus simedianas. Sea $l_i$ la recta paralela al lado $i$ de $ABC$ que pasa por $P$ para $i=a, b, c$. Sean $X, Y y Z$ los puntos de intersección de $l_a$ con $b$, $l_b$ con $c$ y de $l_c$ con $a$, respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $XYZ$ y sea $N$ el centro de la circunferencia de los 9 puntos de $ABC$. Muestra que $ON=OP$.
jueves, 12 de septiembre de 2013
miércoles, 4 de septiembre de 2013
Problema del Día 04-09-2013 (Xavi)
Dado un entero positivo $n$ y un numero real $x$, halla el valor de:
$\displaystyle\sum_{0\leq i<j\leq n}^{}$$\lfloor \frac{x+i}{j}\rfloor$
$\displaystyle\sum_{0\leq i<j\leq n}^{}$$\lfloor \frac{x+i}{j}\rfloor$
martes, 3 de septiembre de 2013
martes 3 de septiembre
Unos facilitos.
(1) Tenemos un tablero de $n$ x $m$ relleno con $1$s y $-1$s. Sea $A_i$ el producto de números en la fila $i$ y $B_i$ lo análogo para columnas. ¿Para qué ($n$,$m$) se puede cumplir que $\sum_{i=1}^n A_i+\sum_{i=1}^m B_i=0?$
(2) Encuentra todas las $n$ naturales tales que existen $a, b \textgreater 1$ con $1!+...+n! = a^b$
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