Problemas 31/05 (Leo)

Va la lista de 5 problemas del TST 2 Holanda, 2013. Los transcribí un poco rápido, así que avísenme si ven algo raro con las redacciones.

1. Muestra que

$\sum_{n=0}^{2013} \frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^2}$

es el cuadrado de un entero.

2. Sea $P$ la intersección de las diagonales de un cuadriálero convexo $ABCD$. Sean $X$, $Y$, $Z$ puntos en el interior de $AB$, $BC$, $CD$ respectivamente tales que

$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZD}=2$.

Supongamos además que $XY$ es tangente al circuncírculo del triángulo $CYZ$ y que $YZ$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BXY$. Muestra que $\angle APD = \angle XYZ$.

3. Fija una sucesión de enteros $a_1$, $a_2$, $\ldots$ que satisface la siguiente condición: para todos los números primos $p$ y todos los enteros positivos $k$ se tiene que:

$a_{pk+1}=pa_k-3a_p+13.$

Determina todos los posibles valores de $a_{2013}$.

4. Determina todos los enteros positivos $n\geq2$ que satisfacen que $i+j$ tiene la misma paridad que $\binom{n}{i}+\binom{n}{j}$ para todas las $i$ y $j$ tales que $0\leq i \leq j \leq n$.

5. Sea $ABCDEF$ un hexágono cíclico con $AB\perp BD$  y $BC=EF$. Sea $P$ la intersección de $BC$ y $AD$ y $Q$ la intersección de $EF$ y $AD$. Supongamos que $P$ y $Q$ están en el mismo lado que $D$ y que $A$ está en el lado opuesto. Sea $S$ el punto medio de $AD$. Sean $K$ y $L$ los incentros de $BPS$ y $EQS$ respectivamente. Muestra que $\angle KDL = 90^\circ$.

Problemas del 30 de mayo

1.-Encuentra todas las parejas de funciones $f,g$ de los reales a los reales tales que 
f(x+g(y))= xf(y) - yf(x) +g(x)   para todos los reales  $x,y$

2.-Sea $O$ el circuncentro y  $H$ el ortocentro de un triangulo acutangulo $ABC$. Prueba que existen puntos $D$, $E$,y $F$ en los lados $BC$, $CA$, y$AB$ respectivamentente, tales que
y las lineas $AD$, $BE$, y $CF$ sean concurrentes.

Problema del Viernes (Geometría rara y números)

1. (IMO 2003, problema 3) Consideremos un hexágono convexo tal que para cualesquiera dos lados opuestos se verifica la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ multiplicado por la suma de sus longitudes. Demostrar que todos los ángulos del hexágono son iguales.

2. Si $4^n + 2^n + 1$ es primo, demuestra que $n$ es potencia de $3$.

Problema de Algebra (facil para empezar)

Sean $x$, $y$, $z$ numeros reales positivos tales que $x+y+z=1$. Muestra que
$$\frac{(1+xy+yz+zx)(1+3x^3+3y^3+3z^3)}{9(x+y)(y+z)(z+x)} \geq$$

$$\left(\frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}}+\frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}}\right)^2.$$

Problemas 28 de Mayo

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La circunferencia $\omega_1$ de diámetro $AC$ corta a $BC$ en $F$ y la circunferencia $\omega_2$ de diámetro $BC$ corta a $AC$ en $E$. La recta $BE$ corta a $\omega_1$ en $L, N$ con $BL < BN$ y la recta $AF$ corta a $\omega_2$ en $K, M$ con $AK < AM$. Muestra que $KN, LM$ y $AB$ concurren.

 

2. Sean $a, b, c$ reales positivos con $abc = 1$. Muestra que

$$\frac{1}{a^5(b + 2c)^2} + \frac{1}{b^5(c + 2a)^2} + \frac{1}{c^5(a + 2b)^2} \geq \frac{1}{3}$$

TST Rumanian 2013/Short List RMM 2013

Pues empecemos con los problemas retadores de Geometría.

Algo importantisimo para romper la barrera de los problemas de Geometría en la IMO a nivel 3 y 6 es desarrollar su habilidad de estudiar una construcción ampliamente y conocer/descubrir los elementos importantes detrás de la construcción. Esto en lo que respecta a los problemas sintéticos.

Un buen lugar donde encontraran diversos articulas que se dedican a realizar estos análisis es el Forum Geometricorum

http://forumgeom.fau.edu/

Por favor entren a la pagina y escojan algún articulo de geometría sintetica estilo olimpiada y comentenme que lograron aprender (si no saben cual tomar yo los puedo orientar). Estaré al pendiente de esto durante la semana.

Por el momento les dejo un problema que me agrada pues involucra construcciones bonitas y que deben dominar para la IMO.

Problema. Los circulos $\Omega$ y $\omega$ son tangentes en un punto $P$ (con $\omega$ dentro de $\Omega$). Una cuerda $AB$ sobre $\Omega$ es tangente a $\omega$ en un punto $C$, la línea $PC$ intersecta de nuevo a $\Omega$ en el punto $Q$. Las cuerdas $QR$ y $QS$ de $\Omega$ son tangentes a $\omega$. Sean $I$, $X$ y $Y$ los incentros de los triángulos $APB$, $ARB$ y $ASB$. Prueba que

$$\angle PXI+\angle PYI=90^\circ.$$

1. Se tiene un alfabeto de 2015 letras. Hallar el menor entero positivo n tal que en toda palabra de longitud n formada con letras del alfabeto (se permiten repeticiones) se pueda encontrar un bloque de letras consecutivas en el que ninguna letra aparezca un numero impar de veces.

2. ¿Será posible partir a un cuadrado en una cantidad finita de triángulos acutángulos?

1. Prueba que para toda $ n $ en los naturales, existe un entero $d \in${$n,n+1,n+2,...,n+19$} de manera que $\forall$ $ m $ entero positivo, $ m \sqrt{d}$ {$m \sqrt{d}$}$> \frac{5}{2} $.

2. Sea $ABC$ un triangulo escaleno con incentro $I$ y circuncirculo $\omega$. $AI$, $BI$, $CI$ cortan a $\omega$ en $D$, $E$ y $F$ respec. Las lineas paralelas a $BC$, $AC$ y $AB$ por $I$ cortan a $EF$, $DF$ y $DE$ en $K$, $L$ y $M$ respec. Demustra que $K$, $L$ y $M$ son colineales.