Problema del Viernes (Geometría rara y números)
1. (IMO 2003, problema 3) Consideremos un hexágono convexo tal que para cualesquiera dos lados opuestos se verifica la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ multiplicado por la suma de sus longitudes. Demostrar que todos los ángulos del hexágono son iguales.
2. Si $4^n + 2^n + 1$ es primo, demuestra que $n$ es potencia de $3$.
2. Si $4^n + 2^n + 1$ es primo, demuestra que $n$ es potencia de $3$.
3 comentarios:
el prob 1 ya lo habia hecho antes y sketch del 2 es ver que 3 divide a $n$ por $mod$ 7 y despues ver que lo que queremos es si $n=3^ak$ en $\frac{2^{3^(a+1)k}-1}{2^{3^ak}-1}$ sea primo. pero si k no es 3 entonces lo vemos como elevar a la k arriba y abajo y nos quedan 2 cosas que se puede ver que una de las de abajo solo divide a una de arriba y entonces nuestro numero es multiplicacion de 2 cosas que no son 1.
Misma solución del 2. Escribes $n = 3^ab$ con $b$ no múltiplo de 3 y escribes $4^n + 2^n + 1$ como $\displaystyle\frac{2^{3^{(a+1)}b} - 1}{2^{3^ab} - 1}$, supones que $b \neq 1$ y factorizas, y es facil reacomodarlo como el producto de dos cosas mayores que 1.
Consideren una pareja de diagonales mayores del hexágono de tal manera que el ángulo menor entre ellas es mayor o igual a 60. Luego el punto de intersección está es una región formada por dos círculos para ambos lados del hexágono.
Luego consideren desigualdad del triángulo para determinar que el punto no esta adentro de una circunferencia de centro el punto medio de un lado y entonces determinar su lugar geométrico, y repetir el argumento con la otra circunferencia con centro en el punto medio del otro segmento.
El argumento anterior se repite para cada pareja de lados opuestos (o bien de diagonales mayores).
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