Problema del día martes

Problema. Sea $P(X)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Prueba que no hay una función $T$ que vaya del conjunto de los enteros al conjunto de enteros tal que el número de enteros $x$ con la propiedad de que $T^{n}(x)=x$, es igual a $P(n)$ para cada $n\geq 1$, donde $T^{n}$ denota la n-ésima aplicación de $T$.

Problema del día.

Sea $ABC$ un triángulo con alturas $AD$ y $BE$ que intesectan en $H$. Sea $M$ el punto medio de $AB$ y supón que los circuncírculos de $DEM$ y $ABH$ se intersectan en $P$ y $Q$ (con $P$ del mismo lado de $A$ con respecto $CH$). Pruebe que las líneas $ED, PH, MQ$ concurren en el circuncírculo de $ABC$.

Problema del dia. Sabado

Encuentra todas las funciones $f$ que van de los reales positivos a los reales positivos, y que cumplen:
$f(x)f(y)=2f(x+yf(x))$ para toda pareja de reales positivos $x,y$

Problemas del Viernes

1. Determina todas las funciones $f \colon \mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{Q}^{+}$ que satisfacen las condiciones

$$f \left(\frac{x}{x + 1}\right) = \frac{f(x)}{x + 1} \quad \text{y} \quad f \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{x^3}$$

Para todo $x \in \mathbb{Q}^{+}$.

2. Sean $n, k$ enteros positivos con $n \geq 2$ y $k \geq \frac{5n}{2} - 1$, y sea $S = \{(x, y) \vert x, y \in \mathbb{Z}, 1 \leq x, y \leq n\}$ el conjunto de todos los puntos latiz con coordenadas positivas y menores o iguales que $n$. Muestra que entre cualesquiera $k$ puntos de $S$, existen cuatro que son concíclicos.

3. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $P$ un punto en su interior. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ los pies de las perpendiculares desde $P$ hacia $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. Determina el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que las rectas $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$ concurren, y se satisface la condición

$$\angle PAB + \angle PBC + \angle PCA = 90^{\circ}$$

Problema 26 de Mayo

Demuestra que para toda pareja de enteros positivos $n$ y $m$ con $n \geq m$ se cumple que:
Para cualquier conjunto de $n$ enteros se tiene que existen por lo menos $2^{n-m+1}$ subconjuntos que su suma es $0$ $mod$ $m$. (El conjunto vacío cuenta como uno con suma congruente a $0$ $mod$ $m$)