martes, 31 de mayo de 2016
Problema del día martes
Problema. Sea $P(X)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Prueba que no hay una función $T$ que vaya del conjunto de los enteros al conjunto de enteros tal que el número de enteros $x$ con la propiedad de que $T^{n}(x)=x$, es igual a $P(n)$ para cada $n\geq 1$, donde $T^{n}$ denota la n-ésima aplicación de $T$.
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Supongamos que sí existe tal función. Para cada $n$, denotemos $\mathrm{Exc}(n)$ al conjunto de los enteros $x$ tales que $T^n(x) = x$, pero $T^k(x) \neq x$ para todo $k \: \textless \: n$, entonces los conjuntos $\mathrm{Exc}(1), \mathrm{Exc}(2), \dots$ son disjuntos dos a dos. Además, para cada $x$ tal que $T^k(x) = x$ para algún $k$, existe un único $d$ tal que $x \in \mathrm{Exc}(d)$ (basta tomar el mínimo $m$ que satisface $T^m(x) = x$). Denotamos este $d$ por $\mathrm{Erd}(x)$.
Ahora, denotemos por $\mathrm{Id}(n)$ al conjunto de enteros tales que $T^n(x) = x$. Entonces $\mathrm{Erd}(x)$ existe para cada $x \in \mathrm{Id}(n)$. Escribiendo $n = k\mathrm{Erd}(x) + r$ con $0 \leq r \: \textless \: \mathrm{Erd}(x)$ se sigue que $r = 0$ o $T^r(x) = x$. La segunda opción contradice el hecho de que $x \in \mathrm{Exc}(\mathrm{Erd}(x))$, y entonces $r = 0$, y $\Erd(x) \mid n$. Similarmente, $x \in \mathrm{Id}(n)$ siempre que $\Erd(x) \mid n$. Ya que los conjuntos $\mathrm{Exc}(n)$ son disjuntos dos a dos se sigue que
$$P(n) = \vert \mathrm{Id}(n) \vert = \sum_{d \mid n} \vert \mathrm{Exc}(d) \vert$$
Ahora, para todo $x \in \mathrm{Exc}(n)$, definimos $\mathrm{Orb}(x) = \{x, T(x), T^2(x), \dots, T^{n - 1}(x)\}$. Estos números son todos distintos por definición, y además, $y \in \mathrm{Orb}(x)$ si y solo si existe un $k$ tal que $T^k(y) = x$, y entonces $\mathrm{Orb}(x) = \mathrm{Orb}(y)$. Se sigue que los conjuntos $\mathrm{Orb}(x)$ forman una partición de $\Exc(n)$, y ya que todos tienen cardinalidad igual a $n$, se sigue que $n \mid \vert \mathrm{Exc}(n) \vert$.
Ahora, fijamos un primo $p$. Para todo primo $q$ tenemos que
$$P(pq) = \vert \mathrm{Exc}(pq) \vert + \vert \mathrm{Exc}(p) \vert + \vert \mathrm{Exc}(q) \vert + \vert \mathrm{Exc}(1) \vert$$
$$\equiv \vert \mathrm{Exc}(p) \vert + \vert \mathrm{Exc}(1) \vert = \vert \mathrm{Id}(p) \vert = P(p) \pmod{q}$$
Y luego $q \mid P(pq) - P(p)$. Además, $q \mid pq \mid P(pq) - P(0)$, y de aquí se sigue que $q \mid P(0) - P(p)$. Ya que $q$ puede ser cualquier primo, se sigue que $P(p) = P(0)$. Variando $p$ deducimos que $P(x) = P(0)$ para infinitos valores de $x$, imposible pues $P$ no es constante.
Correción: Las que dicen $(x)$ son en realidad $\mathrm{Erd}(x)$.
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