miércoles, 31 de mayo de 2017

Problema del miércoles

Demuestra que el conjunto de enteros positivos que no se pueden representar como la suma de cuadrados perfectos distintos es finito.
Posted by El niño at 10:13 a.m.

2 comentarios:

Ariel dijo...

Probamos que $n$ se puede representar como suma de cuadrados perfectos distintos para todo $n \geq 129$. Comprobamos esto primero para $129 \leq n \leq 308$: http://imgur.com/a/ijT6h

Ahora probamos el resultado por inducción fuerte sobre $n$ con estos casos base. Usando que $n \geq 309$ verificamos que existe un entero $m$ que satisface:

$$\sqrt{n - 129} \textgreater m \textgreater \sqrt{\frac{n}{2}}$$

Y entonces

$$129 \textless n - m^2$$

Entonces $n - m^2$ tiene una representación como suma de cuadrados perfectos distintos. A esta le agregamos $m^2$. Ya que $n - m^2 \textless m^2$ la representación de $n - m^2$ no puede contener a $m^2$, y terminamos.

31 de mayo de 2017, 3:19 p.m.
El niño dijo...

¡Súper! y los casos aunque son un buen, son fáciles... ¿y los demás?

1 de junio de 2017, 7:08 a.m.

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