jueves, 27 de mayo de 2010

Problema 27 de mayo

Hola, Entiendo que mando este problema tarde pero técnicamente sigue siendo 27 de mayo. El problema que les mando es bastante bonito y parece que les encanta este tipo de trucos en la IMO, a ver qué les parece

Problema:
Dado p un número primo, encuentra el número de subconjuntos de { 1, 2, 3, ... , 2p } de p elementos tales que su suma sea un múltiplo de p.

Saludos desde Puerto Rico,

Pablo

7 comentarios:

David (sirio11) dijo...

Suerte para ti y los muchachos por allá Pablo

DANIELIMO dijo...
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
DANIELIMO dijo...

si (n en k)=n!/[k!(n-k)]
me dio que la respuesta es
{[(2p en p)-2]/p}+2
use que cualquier subconjunto de p elementos se puede derivar de tomarnos el subconjunto base [1,2,....,p} y los sobrantes p+1,...2p y elegir k elementos de la base y k de los sobrantes e intercambiarlos, con k menor o igual a p y veo que para 1<=k<=p-1 como la suma de la base es divisible entre p igual que los sobrantes, entoncespara que el nuevo subconjunti sirva, la suma de los K de la base debe ser congruente con los k de los sobates que vamos a intercambiar, y noto que por cada ves que sucede esto puedo construir p-1 casos que no sirven y concluyo en que de los (n en k)(n en k) que formo intercambiando k elementos, solo (n en k)(n en k)/p funcionan, (para 1<=k<=p-1), y falta contar cuando no cambiamos ninguno, y cunado cambiamos todos, que son el subonjunto base y el sobrante. y de ahi me da el resultado.

Quique12 dijo...

Daniel,
Lo que te salió de respuesta es la respuesta para cuantos subconjuntos de p elementos cumplen que su suma es múltiplo de p.

DANIELIMO dijo...

eso es lo que pedia no?

IrvinG dijo...

Jajaja, si es cierto, eso es lo que pedía. Yo lo leí mal y busqué cuántos subconjuntos en general, sin la restricción de "con p elementos"

Quique12 dijo...

Esta padre la solución Daniel. Al principio no la había entendido bien, pero llevaba rato tratando de encontrar una solución combinatorica a este problema y tu solucion finalmente la da. Buen trabajo.

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